작용소 K이론

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서, 작용소 K이론(作用素K異論, 틀:Llang)는 C* 대수에 대응되는 K이론이다. 주기 2의 보트 주기성을 가지며, 가환 C* 대수의 경우 겔판트 표현 정리에 의하여 이는 위상 K이론과 일치한다.

정의

사영원

(항등원을 갖는) 복소수 대합 대수 $A$의 원소 $a\in A$가 만약 $a^2=a^{*}=a$를 만족시킨다면, $a$를 사영원(틀:Llang)이라고 한다. 사영원의 집합을 $\mathrm{P}(A)$로 표기하자.

원소 $a\in A$에 대하여, 만약 $a^{*}a\in \mathrm{P}(A)$라면, $a$를 부분 등거리원(틀:Llang)이라고 한다. 만약 $a$가 부분 등거리원이라면, $a^{*}$ 역시 부분 등거리원이다. 부분 등거리원들의 집합을 $\mathrm{PI}(A)$로 표기하자.

$\mathrm{P}(A)$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.

$a\sim b⟺\mathrm{\exists }c\in \mathrm{PI}(A):a=c^{*}c,b=c{c}^{*}$

무한 행렬 공간

(항등원을 갖는) C* 대수 $A$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $A$성분의 $n\times n$ 정사각 행렬들의 C* 대수 $\mathrm{Mat}(n;A)$를 정의할 수 있다. $n\times n$ 행렬에 모든 성분이 0인 $n+1$번째 행 및 열을 추가하는 사상을

${\iota }_n:\mathrm{Mat}(n;A)\to \mathrm{Mat}(n+1;A)$

라고 하면, 이들을 통해 다음과 같은 귀납적 극한을 취할 수 있다.

$\mathrm{Mat}(\mathrm{\infty };A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{Mat}(n;A)$

이는 그러나 항등원을 갖지 않아 환이 아니다. $\mathrm{Mat}(\mathrm{\infty };A)$ 위에 이항 연산

$M\oplus N=\left(\begin{array}{cc}M& 0_{m\times n}\\ 0_{n\times m}& N\end{array}\right)(M\in \mathrm{Mat}(m;A),N\in \mathrm{Mat}(n;A))$

을 정의하자.

$\mathrm{Mat}(\mathrm{\infty };A)$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

$M\sim N⟺\mathrm{\exists }P\in \mathrm{Mat}(m,n;A):M=P{P}^{*},N=P^{*}P(M\in \mathrm{Mat}(m;A),N\in \mathrm{Mat}(n;A))$

그렇다면, $\mathrm{Mat}(\mathrm{\infty };A)/\sim$는 가환 모노이드를 이룬다. 이를 $\mathrm{D}(A)$로 표기하자. $\mathrm{D}(A)$의 그로텐디크 군을 $A$의 0차 K군이라고 하며, ${\mathrm{K}}_0(A)$로 표기한다.

K₁

마찬가지로, $A$계수의 일반 선형군

$\mathrm{GL}(n;A)=\mathrm{Unit}(\mathrm{Mat}(n;A))$

및

$\mathrm{GL}(\mathrm{\infty };A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{GL}(n;A)$

를 정의하자. ($\mathrm{GL}(\mathrm{\infty };A)$는 항등원을 갖지 않아 사실 군이 아니다.) 이 경우, $A$의 $i$차 K군은 다음과 같다.

${\mathrm{K}}_i(A)={\pi }_{i-1}(\mathrm{GL}(\mathrm{\infty };A))(i\ge 1)$

성질

보트 주기성에 따라

${\mathrm{K}}_{i+2}(A)={\mathrm{K}}_i(A)$

이다.

예

1차원 C* 대수 $ℂ$를 생각하자. ${\mathrm{K}}_0(ℂ)$는 다음과 같다.

$\mathrm{D}(ℂ)\cong \mathbb{N}$

${\mathrm{K}}_0(ℂ)\cong \mathbb{Z}$

구체적으로,

$n\mapsto [1_{n\times n}](n\in \mathbb{N})$

이다. 이는 복소수 정사각 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n;ℂ)$ 가운데 $M^2=1$이라면

$M=\mathrm{diag}(e_1,e_2,\dots ,e_n)$

$e_1,\dots ,e_n\in \{0,1\}$

의 꼴이기 때문이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용