일반항 판정법

틀:위키데이터 속성 추적 일반항 판정법(一般項判定法, 틀:Lang) 또는 n항 판정법(틀:Lang)은 다음과 같은 서로 대우인 두 명제 중 하나로 서술되는 무한급수의 수렴판정법이다.

• ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$이 수렴하면, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$이다.

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$이 0이 아니거나 존재하지 않으면, ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$은 발산한다.

증명

급수가 (틀:Mvar로) 수렴한다고 가정하자. 급수의 처음 틀:Mvar항의 합을 틀:Mvar이라 할 때,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(S_n-S_{n-1})=S-S=0◼$

또, 일반항 판정법은 코시 수렴 판정법의 특별한 경우이며, 많은 곳에서 코시 판정법에 의해 증명된다. 틀:수학에 대해, 틀:수학이어서 틀:수학에 대해

$|a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_m|\le \epsilon$

여기서 특별히 틀:수학인 경우 틀:수학이다. 따라서 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0◼$

예

일반항 판정법에 의하면, 0이 아닌 값으로 수렴하는 일반항에 의한 급수는 발산한다. ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}1$은 상수열 틀:수학이 틀:수학로 수렴함에 따라 발산한다. 일반항이 극한을 갖지 않아도, 급수는 발산한다. ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n$은 틀:수학의 극한이 존재하지 않음에 따라 발산한다.

역

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$은 급수 ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$의 수렴을 보장하지 않는다. 즉 일반항 판정법의 역은 성립치 않는다. 다음 급수들은 항이 0으로 수렴하나, 각기 다른 수렴성이 있다.

• ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$은 수렴한다.
• ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$(조화급수)은 무한대로 발산한다.
• ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\sin \sqrt{n+1}-\sin \sqrt{n})$은 부분합이 유계인 채로 발산한다.

유사한 결론

이상적분, 무한곱, 균등수렴에 대해 급수의 일반항 판정법과 비슷한 결론이 있다.

• 단조함수 틀:수학의 이상적분 ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$가 수렴한다면, 틀:수학는 0으로 수렴한다(틀:수학). 틀:Mvar가 단조함수가 아닌 경우는 일반적으로 틀린 결론이다.
• 0이 아닌 수로 수렴하는 무한곱 ${\prod }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$의 항 틀:Mvar은 1로 수렴한다.
• 균등수렴하는 함수열 ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$의 항 틀:수학는 영함수로 균등수렴한다(틀:수학).