위상 T-이중성

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학과 끈 이론에서 위상 T-이중성(틀:Llang)은 끈 이론의 T-이중성의 일부를 포함하는 수학적 공식화이다. 이는 일반화 기하학과 뒤틀린 드람 코호몰로지와 뒤틀린 K이론의 동형을 정의하며, 이는 각각 NS-NS 배경장 · 라몽-라몽 장 · D-막의 대응 관계를 나타낸다.

정의

끈 이론의 T-이중성의 일부는 수학적으로 다음과 같이 공식화될 수 있다.

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 자연수 $k$
• $k$차원 콤팩트 아벨 리 군 $T$, $T^{\vee }$
• $T$-주다발 $\pi :E\twoheadrightarrow M$
• $T^{\vee }$-주다발 ${\pi }^{\vee }:E^{\vee }\twoheadrightarrow M$
• $E$ 위의 3차 특이 코호몰로지류 $H\in {\mathrm{H}}^3(E;\mathbb{Z})$
• $E^{\vee }$ 위의 3차 특이 코호몰로지류 $H^{\vee }\in {\mathrm{H}}^3(E^{\vee };\mathbb{Z})$

그렇다면, 올곱 $E{\times }_M{E}^{\vee }$를 정의할 수 있으며, 이에 대한 사영 사상

$\varpi :E{\times }_M{E}^{\vee }\twoheadrightarrow E$

${\varpi }^{\vee }:E{\times }_M{E}^{\vee }\twoheadrightarrow E^{\vee }$

을 정의할 수 있다. 만약

${\varpi }^{*}H={\varpi }^{\vee *}{H}^{\vee }\in {\mathrm{H}}^3(E{\times }_M{E}^{\vee })$

라면, $(E,E^{\vee },H,H^{\vee })$를 서로 T-이중라고 한다.

성질

뒤틀린 드람 코호몰로지

T-이중 공간 $(E,H,E^{\vee },H^{\vee },M)$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 양쪽에 뒤틀린 드람 코호몰로지롤 정의할 수 있으며, 양쪽의 뒤틀린 드람 코호몰로지는 다음과 같이 서로 표준적으로 동형이다.틀:Rp

${\mathrm{H}}_H^i(E)\cong {\mathrm{H}}_{H^{\vee }}^{i+1}(E^{\vee })(i\in \{2\mathbb{Z},1+2\mathbb{Z}\})$

이는 ⅡA 초끈 이론과 ⅡB 초끈 이론의 라몽-라몽 장 사이의 관계를 나타낸다.

뒤틀린 K이론

T-이중 공간 $(E,H,E^{\vee },H^{\vee },M)$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 양쪽에 뒤틀린 K이론

${\mathrm{K}}_H^i(E)(i\in \{2\mathbb{Z},1+2\mathbb{Z}\})$

${\mathrm{K}}_{H^{\vee }}^i(E^{\vee })(i\in \{2\mathbb{Z},1+2\mathbb{Z}\})$

을 정의할 수 있다. 이 경우, 마찬가지로 양쪽의 뒤틀린 K이론 사이의 표준적인 동형이 존재한다.

${\mathrm{K}}_H^i(E)\cong {\mathrm{K}}_{H^{\vee }}^{i+1}(E^{\vee })(i\in \{2\mathbb{Z},1+2\mathbb{Z}\})$

뒤틀린 K이론은 캘브-라몽 장이 존재하는 시공간의 D-막을 분류하므로, 이는 ⅡA 초끈 이론과 ⅡB 초끈 이론의 D-막 사이의 관계를 나타낸다.

기하학적 구조

T-이중 공간 $(E,H,E^{\vee },H^{\vee },M)$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 양쪽에 쿠런트 준대수를 정의할 수 있으며, 이는 서로 동형이다. 이에 따라, 쿠런트 준대수의 구조만으로 정의되는 모든 기하학적 구조의 모듈러스 공간은 양쪽에서 서로 동형이다. 특히, 표준적인 동형 사상

$(\mathrm{T}E\oplus {\mathrm{T}}^{*}E)/T\cong (\mathrm{T}{E}^{\vee }\oplus {\mathrm{T}}^{*}{E}^{\vee })/T^{\vee }$

에 따라서, $E$ 위의 일반화 복소구조는 $E^{\vee }$ 위의 일반화 복소구조와 일대일 대응한다.

마찬가지로, 일반화 리만 계량(=NS-NS 배경장) 및 일반화 켈러 다양체 구조의 모듈러스 공간 역시 양쪽에서 일대일 대응한다.

예

3차원 초구는 2차원 구 위의 U(1) 주다발을 이룬다 (호프 올다발).

${𝕊}^1\hookrightarrow {𝕊}^3\twoheadrightarrow {𝕊}^2$

만약 ${𝕊}^3$ 위에 아무런 캘브-라몽 장세기가 없다면 $H=0$, 이에 대응되는 T-이중 원다발은 자명한 위상을 가지지만 한 단위의 캘브-라몽 장세기를 갖는다. 즉, 이는 ${𝕊}^2\times {𝕊}^1$이며, $H\in {\mathrm{H}}^3({𝕊}^2\times {𝕊}^1;\mathbb{Z})$은 무한 순환군의 생성원이다.

만약 ${𝕊}^3$ 위에 한 단위의 캘브-라몽 장세기가 주어졌다면 $H=0$, 이는 스스로와 T-이중이다.

외부 링크

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