모멘트 문제

틀:위키데이터 속성 추적 해석학에서, 모멘트 문제(moment問題, 틀:Llang)는 어떤 값들이 분포의 모멘트가 될 수 있는지 및 모멘트로부터 분포를 재구성할 수 있는지 여부에 대한 문제이다.

정의

어떤 측도 공간 $X$ 위에, 일련의 적분 가능 함수들의 집합 $\{u_i{\}}_{i\in I}\in L^1(X)$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 모멘트 문제는 다음과 같은 일련의 문제들이다.

• (존재 문제) 임의의 수열 $\{m_i{\}}_{i\in I}$에 대하여, $\underset{X}{\int }{u}_{i}f=m_i\mathrm{\forall }i\in I$인 $f$가 존재하는가?
• (유일성 문제) 임의의 수열 $\{m_i{\}}_{i\in I}$에 대하여, $\underset{X}{\int }{u}_{i}f=m_i\mathrm{\forall }i\in I$인 $f$가 유일한가? 아니면, 이러한 $f$의 공간이 어떤 모양인가?

고전적 모멘트 문제

다음과 같은 특별한 모멘트 문제들은 이름이 붙어 있다.

• 함부르거 모멘트 문제(틀:Llang)는 $X=ℝ$이며 $u_i=x^i(i=0,1,2,\dots )$인 경우이다.
• 스틸티어스 모멘트 문제(틀:Llang)는 $X=[0,\mathrm{\infty })$이며 $u_i=x^i(i=0,1,2,\dots )$인 경우이다.
• 하우스도르프 모멘트 문제(틀:Llang)는 $X=[0,1]$이며 $u_i=x^i(i=0,1,2,\dots )$인 경우이다.

함부르거 문제

함부르거 모멘트 문제의 해는 다음과 같다.

존재 문제의 경우, 수열 $m_i$가 모멘트를 이룰 필요충분조건은 항켈 행렬의 열

$(H_n{)}_{ij}=m_{i+j}(0\le i,j\le n-1)$

가 모든 $n$에 대하여 양의 준정부호이어야 한다는 것이다.

유일성 문제의 경우는 복잡하며, 칼레만 조건(틀:Llang) 및 크레인 조건(틀:Llang)이라는 충분 조건이 알려져 있다.

칼레만 조건에 따르면, 만약 모멘트 $m_i$가

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{m}_{2i}^{-1/2i}=+\mathrm{\infty }$

라면, 모멘트 $m_i$에 대응하는 측도는 유일하다. 특히, 만약 짝수 차수 모멘트가

$m_{2i}\in 𝒪((2i)!)$

이라면, 모멘트에 대응하는 측도는 유일하다.

크레인 조건에 따르면, 만약 모멘트 $m_i$를 갖는 함수 $f$가

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}-\frac{\ln f(x)}{1+x^2}dx<\mathrm{\infty }$

를 만족시킨다면, 모멘트 $m_i$에 대응하는 측도는 유일하지 않다.

스틸티어스 문제

스틸티어스 모멘트 문제에서, 수열 $m_i$가 주어졌을 때 행렬

${\mathrm{\Delta }}_n=\left(\begin{array}{ccccc}{m}_0& m_1& m_2& \cdots & m_n\\ m_1& m_2& m_3& \cdots & m_{n+1}\\ m_2& m_3& m_4& \cdots & m_{n+2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ m_n& m_{n+1}& m_{n+2}& \cdots & m_{2n}\end{array}\right)$

${\mathrm{\Delta }}_n^{(1)}=\left(\begin{array}{ccccc}{m}_1& m_2& m_3& \cdots & m_{n+1}\\ m_2& m_3& m_4& \cdots & m_{n+2}\\ m_3& m_4& m_5& \cdots & m_{n+3}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ m_{n+1}& m_{n+2}& m_{n+3}& \cdots & m_{2n+1}\end{array}\right)$

을 정의하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• $m_n$이 어떤 분포의 모멘트를 이룰 필요충분조건은 모든 $n$에 대하여 $\det {\mathrm{\Delta }}_n>0$이며 $\det {\mathrm{\Delta }}_n^{(1)}>0$인 것이다.

유일성에 대하여, 여러 충분 조건이 존재한다. 함부르거 문제와 마찬가지로, 칼레만 조건에 따르면, 만약 모멘트 $m_i$가

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{m}_i^{-1/2i}=+\mathrm{\infty }$

라면, 모멘트 $m_i$에 대응하는 측도는 유일하다.

크레인 조건에 따르면, 만약 모멘트 $m_i$를 갖는 함수 $f$가

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}-\frac{\sqrt{x}\ln f(x)}{1+x}dx<\mathrm{\infty }$

를 만족시킨다면, 모멘트 $m_i$에 대응하는 측도는 유일하지 않다.

하우스도르프 문제

하우스도르프 모멘트 문제의 경우, 존재와 유일성은 다음과 같다.

수열 $m_i$가 어떤 측도의 모멘트일 필요충분조건은 모든 $n,k\ge 0$에 대하여

$(-1{)}^k({\mathrm{\Delta }}^{k}m{)}_n\ge 0$

인 것이다. 여기서 $\mathrm{\Delta }$는 수열의 차 연산자

$(\mathrm{\Delta }m{)}_i=m_{i+1}-m_i$

이다.

모멘트가 주어지면 스톤-바이어슈트라스 정리에 의하여 이에 대응하는 분포는 유일하다.

체비쇼프-마르코프-크레인 부등식

체비쇼프-마르코프-크레인 부등식(틀:Llang)은 모멘트가 알려져 있는 함수 또는 측도의 적분의 최솟값 및 최댓값을 제시하는 정리이다.

$X$가 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하고, $\mu$가 $K$ 위의 측도이며, $\mu (x)<\mathrm{\infty }$라고 하자. $U\subset 𝒞(K;ℝ)$가 임의의 유한 차원 실수 벡터 공간이라고 하자. 또한, $U$가 모든 $x\in X$에 대하여 $f(x)>0$인 함수 $f$를 적어도 한 개 포함한다고 하자.

$V(U,\mu )$가

$\underset{X}{\int }ud\mu =\underset{X}{\int }ud\nu \mathrm{\forall }u\in U$

$\nu (X)<\mathrm{\infty }$

인 측도 $\nu$들의 집합이라고 하자.

임의의 $f\in L^1(X,\mu ;ℝ)$에 대하여, 체비쇼프-마르코프-크레인 부등식은

$\{\nu \in V(U,\mu ):\underset{X}{\int }fd\nu \}$

의 상한과 하한에 대한 부등식이다.

이 경우, 다음이 성립한다.

$\underset{\nu \in V(U,\mu )}{\inf }\underset{X}{\int }fd\nu =\underset{u\in U,u\le f}{\sup }\underset{X}{\int }ud\mu$

따라서, $\{\nu \in V(U,\mu ):\underset{X}{\int }fd\nu \}$의 상한·하한을 찾는 문제는

$\{\Vert u-f{\Vert }_1:u\in U\}$

의 최솟값을 찾는 문제와 동치이다. 임의의 $u_0\in U$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $u_0$는 위 최솟값을 포화시키며, 모든 $x\in X$에 대하여 $u_0(x)\le f(x)$이다.
• 다음 두 조건을 만족시키는 $x_1,\dots ,x_k\in X$ 및 양의 실수 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k\in {ℝ}^{+}$가 존재한다 ($1\le k\le \dim U$).
  • $f(x_i)=u_0(x_i)\mathrm{\forall }i=1,\dots ,k$
  • $\underset{X}{\int }ud\mu ={\sum }_{i=1}^k{\lambda }_{i}u(x_i)\mathrm{\forall }u\in U$

이러한 $\{(x_i,{\lambda }_i){\}}_{i=1,\dots ,k}$를 찾았을 때, 다음이 성립한다.

$\underset{v\in V(U,\mu )}{\inf }\underset{X}{\int }fd\nu =\sum _{i=1}^k{\lambda }_{i}f(x_i)$

또한, 이 하한을 포화시키는 측도 $\nu$는 다음과 같다.

${\nu }_{\min }=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{\delta }_{x_i}$

여기서 ${\delta }_x$는 $x\in X$에서의 디랙 델타 측도이다. 즉,

${\delta }_x(A)=\{\begin{array}{cc}1& x\in A\\ 0& x\in ̸A\end{array}$

이다.

마찬가지로, 상한을 찾으려면 $\underset{X}{\int }-fd\nu$의 하한을 찾으면 된다.

구간 위의 모멘트 문제

닫힌구간 $[a,b]$ 위의 모멘트 문제를 생각하자. 만약 유한 차원 벡터 부분 공간 $T\subset {𝒞}^0([a,b];ℝ)$에 대하여, 임의의 $u\in T\setminus \{0\}$에 대하여 $u$가 $n$개 미만의 영점들을 갖는다면, $T$를 체비쇼프 공간(틀:Llang, 틀:Lang)이라고 하며, 그 기저를 체비쇼프 계(틀:Llang, 틀:Llang)라고 한다.

$[a,b]$ 위의 체비쇼프 공간 $T$가 주어졌다고 하자. $[a,b]$ 위의 유한 측도 $\mu$가, 임의의 $u\in T\setminus \{0\}$에 대하여 만약 $u(x)\ge 0\mathrm{\forall }x\in [a,b]$이면 $\int ud\mu >0$이라고 하자. 그렇다면, $\mu$에 대하여,

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}ud\mu =\underset{a}{\overset{b}{\int }}ud\nu \mathrm{\forall }u\in T$

이며

$\nu =\sum _{i=1}^n{a}_i\delta (x_i)(a\le x_1<x_2<\cdots x_n\le b)$

인 꼴의 측도 $\nu$가 정확히 두 개 존재하며, 두 개 가운데 하나는 $x_n=b$를 갖는다. 이를 ${\mu }_{\pm }$이라고 하며, $\mu$의 상·하 주표현(틀:Llang)이라고 한다. 임의의 $[a,b]$ 위의 유한 측도 $\nu \in V(U,\mu )$에 대하여, 항상 다음과 같은 부등식이 성립한다.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fd{\mu }_{-}\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}fd\mu \le \underset{a}{\overset{b}{\int }}fd{\mu }_{+}$

즉, 상·하 주표현들은 체비쇼프 공간에 대한 모멘트 문제의 상·하한을 이룬다.

예

실수선 위의 함수

$f(x)=\exp (-(\ln x{)}^2)$

를 생각하자. 이 함수의 모멘트는 모두 유한하다.

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{n}f(x)dx=\{\begin{array}{cc}2e^{(n+1{)}^2/4}\sqrt{\pi }& 2\mid n\\ 0& 2\nmid n\end{array}$

그러나 크레인 조건에 따라

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{-\ln f(x)}{1+x^2}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{(\ln x{)}^2}{1+x^2}dx={\pi }^3/4<\mathrm{\infty }$

이므로, 이 함부르거 모멘트 문제는 유일하지 않다. 반대로, 칼레만 조건을 적용한다면, 짝수 차수 모멘트들은

$m_{2n}\sim \exp (n^2)\gg (2n)!\sim \exp (2n\ln n+\cdots )$

이므로, 칼레만 조건을 통해 유일성을 보일 수 없다.

같이 보기

• 한켈 행렬
• 모멘트 (수학)

참고 문헌

• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom