마스 파동 형식

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 마스 파동 형식(틀:Llang)은 모듈러 형식과 유사하지만 정칙함수가 아니라 일종의 조화함수인 복소함수이다. 한스 마스가 1949년 정의하였다.

정의

상반평면 $ℍ=\{\tau \in ℂ:\mathrm{Im}\tau >0\}$ 위의 라플라스 연산자는 다음과 같다. $\tau =x+iy$라면,

$\mathrm{\Delta }=-y^2(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2})$

이다. 이는 쌍곡기하학에서의 곡률을 고려한 것이다.

약한 마스 파동 형식(틀:Llang)은 다음 성질들을 만족시키는, 상반평면 위에 정의된 복소함수 $f:ℍ\to ℂ$이다.

• $f$는 모듈러 군 $\mathrm{PSL}(2;\mathbb{Z})$의 작용에 불변이다. 즉, $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{SL}(2;\mathbb{Z})$에 대하여 $f((az+b)/(cz+d),(a\overline{z}+b),(c\overline{z}+d))=f(z,\overline{z})$이다.
• $f$는 상반평면 라플라스 연산자 $\mathrm{\Delta }$의 고유함수이다. 즉, $\mathrm{\Delta }f=0$이다.

마스 파동 형식은 다음 조건을 만족시키는 약한 마스 파동 형식이다.

• $\mathrm{SL}(2;\mathbb{Z})$의 첨점 근처에서, $x,y$에 대한 다항식 이하의 속도로 증가한다.

스리니바사 라마누잔이 발견한 가짜 모듈러 형식(틀:Llang)은 약한 마스 파동 형식의 정칙적 부분이다.

같이 보기

• 보형 형식
• 모듈러 형식

참고 문헌

• 틀:인용

외부 링크

• 틀:웹 인용