등급 가군

틀:위키데이터 속성 추적 환론에서 등급 가군(等級加群, 틀:Llang)은 등급이 붙어, 등급환이 (왼쪽 또는 오른쪽에서) 작용할 수 있는 가군이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

모노이드 $(I, \cdot, 1)$
$I$ -등급환 $R = ⨁_{i \in I} R_{i}$

그렇다면, $R$ 위의 왼쪽 등급 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

아벨 군의 족 $(M_{i})_{i \in I}$ . 또한, $M = ⨁_{i \in I} M_{i}$ 로 표기하자.
$M$ 위의 $R$ -왼쪽 가군 구조 $R \otimes_{ℤ} M \to M$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

R_{i} M_{j} \subseteq M_{i j} \forall i, j \in I

마찬가지로, $R$ 위의 오른쪽 등급 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

아벨 군의 족 $(M_{i})_{i \in I}$ . 또한, $M = ⨁_{i \in I} M_{i}$ 로 표기하자.
$M$ 위의 $R$ -오른쪽 가군 구조 $M \otimes_{ℤ} R \to M$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

M_{i} R_{j} \subseteq M_{i j} \forall i, j \in I

만약 $R_{1}$ 이 체일 때, $R$ -등급 가군은 ( $R_{0}$ -벡터 공간이므로) 보통 $R$ -등급 벡터 공간(等級vector空間, 틀:Llang)이라고 부른다.

등급 가군 준동형

두 $R$ -왼쪽 등급 가군 $M$ , $N$ 사이의 준동형 $f : M \to N$ 은 다음 조건을 만족시키는 $R$ -왼쪽 가군 준동형이다.

f (M_{i}) \subseteq N_{i} \forall i \in I

두 $R$ -오른쪽 등급 가군 사이의 준동형 역시 마찬가지로 정의된다.

연산

직합

$I$ -등급환 $R$ 위의 왼쪽 등급 가군들의 족 $(M^{a})^{a \in A}$ 이 주어졌을 때, 이들의 직합

M = ⨁_{a \in A} M^{a}

M_{i} = ⨁_{a \in A} M_{i}^{a} \forall i \in I

역시 $R$ -왼쪽 등급 가군을 이룬다.

오른쪽 등급 가군의 경우도 마찬가지이다.

텐서곱

$I$ -등급환 $R$ 위의 두 왼쪽 등급 가군 $M$ , $N$ 이 주어졌을 때, 그 텐서곱

(M \otimes N)_{i} = ⨁_{j, k \in I : j k = i} M_{i} N_{j}

을 정의할 수 있다. 이 역시 $R$ -왼쪽 등급 가군을 이룬다.

오른쪽 등급 가군의 경우도 마찬가지이다.

뒤틂

$I$ -등급환 $R$ 위의 왼쪽 등급 가군 $M$ 및 $i_{0} \in I$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $M$ 의 $i_{0}$ -뒤틂(틀:Llang) $M (i_{0})$ 은 다음과 같다.

M (i_{0})_{i} = M_{i i_{0}}

마찬가지로, $I$ -등급환 $R$ 위의 오른쪽 등급 가군 $M$ 및 $i_{0} \in I$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $M$ 의 $i_{0}$ -뒤틂(틀:Llang) $M (i_{0})$ 은 다음과 같다.

M (i_{0})_{i} = M_{i_{0} i}

힐베르트-푸앵카레 급수

틀:본문 $ℕ$ -등급환 $R$ 위의 왼쪽 등급 가군 $M$ 의 힐베르트-푸앵카레 급수(틀:Llang)는 (만약 존재한다면) 다음과 같다.

p_{M} (t) = \sum_{i \in ℕ} ℓ_{R_{0}} (M_{i}) t^{i} \in ℤ [[t]]

여기서

$ℓ_{R_{0}} (-)$ 는 ( $R_{0}$ -왼쪽 가군으로서의) 길이이다. 만약 이것이 무한하다면 힐베르트-푸앵카레 급수는 존재하지 않는다.
$ℤ [[t]]$ 는 정수 계수 1변수 형식적 멱급수환이다.

예

체 $K$ 에 자명한 $ℤ / 2$ -등급을 부여하였을 때, $K$ -등급 가군

V = V_{0} \oplus V_{1}

은 $K$ -초벡터 공간(틀:Llang)이라고 한다.

정수환 $ℤ$ 에 자명한 등급을 부여하였을 때, 그 위의 등급 가군은 등급 아벨 군(틀:Llang)이라고 한다.

참고 문헌

외부 링크

틀:전거 통제

등급 가군

목차

정의

등급 가군 준동형

연산

직합

텐서곱

뒤틂

힐베르트-푸앵카레 급수

예

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