다중로그

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 다중로그(多重log, 틀:Llang) 또는 폴리로그는 로그를 일반화한 특수 함수이다.

역사

이중로그는 17세기부터 수학계에 등장하기 시작하였다. 존 랜던(틀:Llang)은 이중로그에 대한 랜던 항등식을 1760년 증명하였다. 레온하르트 오일러와 닐스 헨리크 아벨은 이중로그에 대한 아벨 항등식을 1826년에 증명하였으나, 이 논문은 사후에 1881년에야 출판되었다.

일반적인 다중로그는 종키에르(틀:Llang)가 1889년 다루었다. 이 때문에 다중로그는 종키에르 함수라고 불리기도 한다.

정의

임의의 복소수 $s\in ℂ$와 $|z|<1$인 복소수 $z\in ℂ$에 대하여, 다중로그 ${\mathrm{Li}}_s(z)$는 다음과 같은 급수로 정의된다.

${\mathrm{Li}}_s(z)=z+z^2/2^s+z^3/3^s+\dots$

이는 모든 $z\in ℂ$에 대하여 해석적 연속으로 정칙적으로 확장할 수 있다. 이 경우 극점이나 본질적 특이점은 존재하지 않지만, 일부 $s$에서는 분지절단을 갖는다. 이 경우 분지점은 $z=1$과 $z=\mathrm{\infty }$이며, 통상적으로 1 이하의 실수에 대하여 분지절단을 가한다.

$s=2$인 경우 이중로그(二重log, 틀:Llang), $s=3$인 경우 삼중로그(三重log, 틀:Llang) 따위의 이름을 사용한다.

성질

정의에 따라, $z=1$인 경우 다중로그는 단순히 리만 제타 함수이다.

${\mathrm{Li}}_s(1)=\zeta (s)$

마찬가지로, $z=-1$인 경우 다중로그는 디리클레 에타 함수이다.

${\mathrm{Li}}_s(-1)=-\eta (s)$

다중로그의 도함수는 낮은 차수의 다중로그로 주어진다. 이는 급수 정의로부터 쉽게 유도된다.

$z\frac{\partial {\mathrm{Li}}_s(z)}{\partial z}={\mathrm{Li}}_{s-1}(z)$

낮은 차수의 다중로그

1중로그는 다음과 같이 (통상적) 로그로 주어진다. (이 때문에 ‘다중로그’라는 이름이 붙었다.)

${\mathrm{Li}}_1(z)=-\ln (1-z)$

도함수 공식을 사용하여, 0 이하의 정수 차수의 다중로그는 다음과 같이 유리 함수임을 증명할 수 있다.

${\mathrm{Li}}_{-n}(z)={\left(z\frac{\partial }{\partial z}\right)}^n\frac{z}{1-z}=\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1){\left(\frac{z}{1-z}\right)}^{k+1}(n=0,1,2,\dots )$

여기서 $S(n,k)$는 제2종 스털링 수이다.

적분 표현

다중로그는 다음과 같은 적분으로 표현할 수 있다. 이러한 적분들은 통계역학에서 보스-아인슈타인 통계와 페르미-디랙 통계를 다룰 때 등장한다. 보스-아인슈타인 적분 표현은 다음과 같다.

${\mathrm{Li}}_s(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}}{e^t/z-1}dt(\mathrm{Re}s>0,z\in ℂ\setminus [1,\mathrm{\infty }))$

페르미-디랙 적분 표현은 다음과 같다.

${\mathrm{Li}}_s(-z)=-\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}}{e^t/z+1}dt(\mathrm{Re}s>0,z\in ℂ\setminus (-\mathrm{\infty },-1])$

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:수학노트
• 틀:수학노트