교환자

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 군론에서 교환자(交換子, 틀:Llang)는 두 원소 사이의 교환 법칙의 실패를 측정하는 이항 연산이다.

정의

군 $G$ 의 두 원소 $g, h \in G$ 의 교환자는 다음과 같다.

[g, h] = g^{- 1} h^{- 1} g h

(일부 문헌에서는 대신 순서를 바꾸어 $[g, h] = g h g^{- 1} h^{- 1}$ 로 정의하기도 한다.)

임의의 두 원소 $g, h \in G$ 에 대하여, $g h = h g$ 일 필요 충분 조건은 $[g, h] = 1$ 인 것이다. 즉, 임의의 군 $G$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

교환자는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.^[1]틀:Rp 여기서 $y^{x}$ 는 켤레 원소 $x^{- 1} y x$ 를 나타낸다.

$x^{y} = x [x, y]$
$[y, x] = [x, y]^{- 1}$
$[x y, z] = [x, z]^{y} \cdot [y, z]$ and $[x, y z] = [x, z] \cdot [x, y]^{z}$
$[x, y^{- 1}] = [y, x]^{y^{- 1}}$ and $[x^{- 1}, y] = [y, x]^{x^{- 1}}$
(홀-비트 항등식 틀:Llang) $[[x, y^{- 1}], z]^{y} [[y, z^{- 1}], x]^{z} [[z, x^{- 1}], y]^{x} = 1$
(홀-비트 항등식 틀:Llang) $[[x, y], z^{x}] [[z, x], y^{z}] [[y, z], x^{y}] = 1$

홀-비트 항등식은 환론의 교환자의 야코비 항등식과 유사하다.

또한, 임의의 군에 대하여 다음이 성립한다.

(x y)^{2} = x^{2} y^{2} [y, x] [[y, x], y] \forall x, y \in G

만약 $G$ 의 교환자 부분군이 중심에 속한다면 ( $G^{(1)} \leq Z (G)$ ), 다음이 추가로 성립한다.

(x y)^{n} = x^{n} y^{n} [y, x]^{(\binom{n}{2})} \forall x, y \in G

틀:본문 주어진 군 $G$ 의 원소들 가운데 어떤 교환자로 표현될 수 있는 것들은 일반적으로 부분군을 이루지 않지만, 교환자 부분군이라 불리는 부분군을 생성한다. 즉, 교환자 부분군은 (유한 개의) 교환자들의 곱으로 표현될 수 있는 원소들로 구성된 부분군이다.