C∞-대수

추상대수학에서 C_∞-대수는 일종의 호모토피 가환 조건을 만족시키는 A_∞-대수이다.틀:Rp

정의

C_∞-대수는 두 가지로 정의될 수 있으며, 이 두 정의는 코바 구성(틀:Llang)에 의하여 서로 동치이다.

정의 1

표수 0의 체 위의 A_∞-대수 $(A,(m_i{)}_{i\in {\mathbb{Z}}^{+}})$가 주어졌다고 하자. 만약 이 A_∞-대수가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 C_∞-대수라고 한다.

$m_{p+q}(\mathrm{sh}(x_1\otimes \cdots \otimes x_p,y_1\otimes \cdots \otimes y_q))=0$

여기서

$\mathrm{sh}(x_1\otimes \cdots \otimes x_p,x_{p+1}\otimes \cdots \otimes y_{p+q})=\sum _{\sigma \in \mathrm{Sh}(p,q)}\pm (-{)}^{\sigma }{x}_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes {\sigma }_{\sigma (p+q)}$

는 모든 $(p,q)$차 셔플 순열에 대한 합이다. 위 식에서, $(-{)}^{\sigma }$는 순열의 홀짝성 $\mathrm{Sym}(n)\to \{\pm 1\}$이며, $\pm$은 코쥘 부호 규칙(순열에서 두 원소 $a,b$를 교환할 경우 $(-{)}^{\mathrm{deg}a\mathrm{deg}b}$를 곱함)이다.

즉, 처음 두 개의 공리는 다음과 같다.

$m_2(a,b)=(-{)}^{\mathrm{deg}a\mathrm{deg}b}{m}_2(b,a)=0$

$m_3(a,b,c)+(-{)}^{1+\mathrm{deg}b\mathrm{deg}c}{m}_3(a,c,b)+(-{)}^{\mathrm{deg}c(\mathrm{deg}a+\mathrm{deg}b)}{m}_3(c,a,b)=0$

정의 2

표수 0의 체 위의 정수 등급 벡터 공간 $V$ 위의 자유 리 대수 $ℒ(V[1])$를 생각하자. 이 위에서, 등급 1의 선형 미분

$\mathrm{D}:ℒ(V)\to ℒ(V)$

${\mathrm{D}}^2=0$

$\mathrm{D}[a,b]=[\mathrm{D}a,b]+(-{)}^{\mathrm{deg}a}[a,\mathrm{D}b]$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $(V^{*},D)$를 C_∞-대수라고 한다.

예

$0=m_3=m_4=m_5=\cdots$인 C_∞-대수의 개념은 가환 미분 등급 대수의 개념과 동치이다.

역사

토르니케 카데이슈빌리(틀:Llang)가 1988년에 도입하였다.

외부 링크

• 틀:Nlab