1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

정사각형의 분할을 통해 그려진 초반 6개 항

실제 선의 기하급수 표현

수학에 있어서 급수 틀:수직 분수 + 틀:수직 분수 + 틀:수직 분수 + 틀:수직 분수 + …은 절대 수렴하는 기하급수의 초보적인 예이다. 그 합은 다음과 같이 나온다.

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=1$

증명

다른 급수와 마찬가지로 무한합

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$

은 최초의 틀:수학 변수항의 합

$s_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{2^n}$

의 틀:수학 변수이 무한히 커질 때의 극한으로 정의된다.

틀:수학 변수 (위의 등식에서 언급된 양변)에 2를 곱함으로써 유용한 관계성을 알 수 있다.

$2s_n=\frac{2}{2}+\frac{2}{4}+\frac{2}{8}+\frac{2}{16}+\cdots +\frac{2}{2^n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}=1+s_n-\frac{1}{2^n}$

양변에서 틀:수학 변수을 빼면 다음과 같은 등식이 나온다.

$s_n=1-\frac{1}{2^n}$

틀:수학 변수을 무한으로 크게 하면 양변에서 틀:수학 변수은 1에 수렴하게 된다.

틀:수학 변수이 ∞(무한)이면 $\frac{1}{2^n}$은 0이 되고 틀:수학 변수은 1이 된다.

역사

이 급수는 제논의 역설 가운데 하나인 아킬레우스와 거북이의 역설을 표현하는 데에 사용되었다. 또한 호루스의 눈은 일찍부터 이 급수에서 초반 6개 항을 나타낸 것으로 여겨졌다. 도교 서적 《장자》(莊子)의 〈잡편(雜篇) 제33 천하(天下)〉에 등장하는 "한 자 길이의 회초리를 매일 부러뜨려도 만년이 지나도록 없어지지 않으리라."(一尺之捶(일척지추), 日取其半(일취기반), 萬世不竭(만세불갈))라는 구절은 이 급수와 관련이 있는 것으로 여겨진다.

같이 보기

• 0.999…