힐 사면체

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서 힐 사면체(틀:Llang)는 공간 채우기 사면체족이다. 1896년에 유니버시티 칼리지 런던의 수학 교수 M. J. M. Hill이 발견했으며, 힐 사면체가 정육면체와 가위 합동이라는 것을 밝혔다.

구성

모든 $\alpha \in (0,2\pi /3)$에 대해서 $v_1,v_2,v_3\in {ℝ}^3$을 그 사잇각이 $\alpha$인 세 단위벡터로 정의하자. 힐 사면체 $Q(\alpha )$는 다음과 같이 정의한다:

$Q(\alpha )=\{c_1{v}_1+c_2{v}_2+c_3{v}_3\mid 0\le c_1\le c_2\le c_3\le 1\}.$

$Q(\pi /2)$인 특별한 경우는 일반적으로 $Q$라고 부르며 사면체의 모든 면이 직각삼각형으로, 두 면은 $(1,1,\sqrt{2})$이고 다른 두 면은 $(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$이다. 루트비히 슐레플리(Ludwig Schläfli)는 $Q$를 orthoscheme의 특별한 경우로 연구하였고, 콕서터는 $Q$를 정육면체 공간채우기의 특성 사면체라고 불렀다.

특성

• 정육면체는 6개의 $Q$로 채울 수 있다.
• 모든 $Q(\alpha )$는 세 다포체로 분할해서 각기둥으로 바꿀 수 있다.

일반화

1951년에 후고 하트비거(Hugo Hadwiger)는 힐 사면체를 다음과 같이 n차원으로 일반화하였다.

$Q(w)=\{c_1{v}_1+\cdots +c_n{v}_n\mid 0\le c_1\le \cdots \le c_n\le 1\},$

이 때 벡터 $v_1,\dots ,v_n$는 모든 $1\le i<j\le n$에 대해서 $(v_i,v_j)=w$를 만족하고 $-1/(n-1)<w<1$이다. 하트비거는 이와 같은 모든 단체는 초입방체와 가위 합동이라는 것을 증명하였다.

같이 보기

• Schläfli orthoscheme

참고 문헌

• M. J. M. Hill, Determination of the volumes of certain species of tetrahedra without employment of the method of limits, Proc. London Math. Soc., 27 (1895–1896), 39–53.
• H. Hadwiger, Hillsche Hypertetraeder, Gazeta Matemática (Lisboa), 12 (No. 50, 1951), 47–48.
• H.S.M. Coxeter, Frieze patterns, Acta Arithmetica 18 (1971), 297–310.
• E. Hertel, Zwei Kennzeichnungen der Hillschen Tetraeder, J. Geom. 71 (2001), no. 1–2, 68–77.
• Greg N. Frederickson, Dissections: Plane and Fancy, Cambridge University Press, 2003.
• N.J.A. Sloane, V.A. Vaishampayan, Generalizations of Schobi’s Tetrahedral Dissection, arXiv:0710.3857.

외부 링크

• Three piece dissection of a Hill tetrahedron into a triangular prism