회전변환행렬

좌표평면상에서 회전변환행렬을 응용한 폰트 그래픽의 회전(90º및 180º)

선형 변환에서 회전변환행렬(Rotation matrix)은 임의의 행렬을 원점을 중심으로 회전시킨다.

$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

회전변환행렬(Rotation matrix)은 선형 변환의 성질중 하나이며, 동시에 여러 회전변환행렬중 일부는 대칭변환행렬 즉 반사행렬(Reflection matrix)과 관련이 있다.

정의

원과 그 원의 중심점에 한점을 두는 두 선분을 예약하고, $P=(x,y),P^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime })$ $\overline{OP}=l=\sqrt{(x-0{)}^2+(y-0{)}^2}$ 두 점 사이의 거리, $\overline{OP}=\sqrt{x^2+y^2}$ $cos\alpha =\frac{x}{\overline{OP}}$ $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=cos\alpha$ 그리고, $sin\alpha =\frac{y}{\overline{OP}}$ $\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=sin\alpha$ 그리고, $P^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime })$는 $P=(x,y)$를 $+\theta$만큼 회전시킨 것이다. $x^{\prime }=\sqrt{x^2+y^2}cos(\alpha +\theta )$ $y^{\prime }=\sqrt{x^2+y^2}sin(\alpha +\theta )$ 삼각함수의 덧셈정리에서, $x^{\prime }=\sqrt{x^2+y^2}cos(\alpha +\theta )$는, $x^{\prime }=\sqrt{x^2+y^2}(\cos \alpha \cos \theta -\sin \alpha \sin \theta )$ $x^{\prime }=(\sqrt{x^2+y^2}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\cos \theta )-(\sqrt{x^2+y^2}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\sin \theta )$ $x^{\prime }=x\cos \theta -y\sin \theta$ $y^{\prime }=\sqrt{x^2+y^2}sin(\alpha +\theta )$는, $y^{\prime }=\sqrt{x^2+y^2}(\sin \alpha \cos \theta +\cos \alpha \sin \theta )$ $y^{\prime }=(\sqrt{x^2+y^2}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\cos \theta )+(\sqrt{x^2+y^2}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\sin \theta )$ $y^{\prime }=y\cos \theta +x\sin \theta$ x,y 순서로 정리하면, $y^{\prime }=x\sin \theta +y\cos \theta$ 연립방정식 형태로 나타내면, $x\cos \theta -y\sin \theta =x^{\prime }$ $x\sin \theta +y\cos \theta =y^{\prime }$ 따라서, $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$

컴퓨터그래픽 응용

비트맵 글꼴과 외곽선 글꼴에서 회전변환행렬은 유용한 정보처리를 표현한다.

예

점(3,5)를 원점을 중심으로 90º회전시켰을때, 삼각함수로부터 그 값을 예상해보면,

$\left(\begin{array}{cc}\cos 90^{\circ }& -\sin 90^{\circ }\\ \sin 90^{\circ }& \cos 90^{\circ }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(0\cdot 3)+(-1\cdot 5)\\ (1\cdot 3)+(0\cdot 5)\end{array}\right)$

따라서, $\left(\begin{array}{c}(0)+(-5)\\ (3)+(0)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\end{array}\right)$

같이 보기

• 대칭변환행렬
• 닮음변환행렬
• 변환행렬

참고

• 틀:서적 인용
• The Matrix Page Practical examples in POV-Ray
• Reference page - Rotation of axes