홀 결혼 정리

틀:위키데이터 속성 추적 조합적 집합론에서 홀 결혼 정리(Hall結婚定理, 틀:Llang)는 여러 유한 집합들의 집합족으로부터, 각 집합에서 서로 다른 원소를 고를 수 있는 필요충분조건에 대한 정리다.

정의

집합족 $𝒯$ 의 모든 원소가 유한 집합이라고 하자. 홀 결혼 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]틀:Rp

(결혼 조건 틀:Llang) 모든 $𝒰 \subset 𝒯$ 에 대하여, $| 𝒰 | \leq | ⋃ 𝒰 |$
(횡단의 존재) 다음 조건들을 만족시키는 순서쌍 (S,f)가 존재한다. 이러한 순서쌍을 횡단(橫斷, 틀:Llang) 또는 변별 대표원계(辨別代表元系, 틀:Llang)라고 한다.
- $S \subset ⋃ 𝒯$ 는 집합이다.
- $f : S \to T$ 는 전단사 함수이다.
- 모든 $s \in S$ 에 대하여 $s \in f (s)$ 이다.

횡단의 존재가 결혼 조건을 함의한다는 것은 자명하므로, 홀 결혼 정리에서 실제로 증명할 것은 결혼 조건이 횡단의 존재를 함의한다는 것이다.

홀 결혼 정리는 무한 집합의 경우 성립하지 않는다. 예를 들어,

T = {ℕ} \cup {{n} : n \in ℕ}}

이라고 하자. 이는 결혼 조건을 만족시키지만, 횡단이 존재하지 않는다.

영국의 필립 홀(틀:Llang)이 쾨니그의 정리와 동치인 홀 결혼 정리를 1935년에 증명하였다.^[2]

"결혼 조건"의 어원은 다음과 같다. $n$ 명의 미혼 이성애자 남성과 $n$ 명의 미혼 이성애자 여성이 있다고 하자. 이들이 배우자에 대하여 다음 조건들을 요구한다고 하자.

각 남성은 임의의 여성과 결혼할 수 있다.
각 여성 $i = 1, \dots, n$ 은 어떤 남성의 집합 $T_{i} \subset {1, \dots, n}$ 의 원소만을 결혼하고자 한다.

복혼 없이 모든 사람들이 결혼하는 방법은 $𝒯 = {T_{i}}_{i = 1, \dots, n}$ 의 횡단을 정의한다. 이 경우, 홀 결혼 정리는 모든 사람들이 결혼할 수 있는지 확인할 수 있는 필요충분조건을 제공한다.^[1]틀:Rp