항등 정리

틀:위키데이터 속성 추적 복소해석학에서 항등 정리(恒等定理, 틀:Llang)는 연결 열린집합 위의 정칙 함수가 정의역에서 극한점을 갖는 부분 집합만으로 결정된다는 정리이다.

정의

연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$에 정의된 두 정칙 함수 $f,g:D\to ℂ$가 주어졌고, 집합

$\{z\in D:f(z)=g(z)\}$

가 $D$에서 극한점을 갖는다고 하자. 항등 정리에 따르면, 임의의 $z\in D$에 대하여 $f(z)=g(z)$이다.틀:Rp

특히, 연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$에 정의된 정칙 함수 $f:D\to ℂ$의 영점의 집합은 $D$ 전체이거나, $D$에서 극한점을 갖지 않는다.틀:Rp 후자의 경우, $f$의 모든 영점은 영점 집합의 고립점이며, 특히 영점 집합은 가산 집합이다.

증명

연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$에 정의된 정칙 함수 $f:D\to ℂ$의 영점의 집합이 $D$에 속하는 극한점 $z_0\in D$를 갖는다고 하자. 또한,

$S=\{z\in D:0=f(z)=f^{\prime }(z)=f^{″}(z)=\cdots \}$

라고 하자. 그렇다면 $S=D$임을 보이는 것으로 족하다.

우선 $S\ne \varnothing$임을 보이자. $z_0\in S$를 보이는 것으로 족하다. 귀류법을 사용하여 $z_0\in ̸S$라고 하자. 그렇다면

$m=\min \{n\ge 0:f^{(n)}(z_0)\ne 0\}$

이 정의된다. $f$는 연속 함수이므로, $f(z_0)=0$이며, 따라서 $m\ge 1$이다. $\mathrm{B}(z_0,r)\subseteq D$인 $r>0$을 고정하자. 그렇다면, 임의의 $z\in \mathrm{B}(z_0,r)$에 대하여,

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0{)}^n=\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0{)}^n$

이다. 즉, 정칙 함수 $g:\mathrm{B}(z_0,r)\to ℂ$를

$g(z)=\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0{)}^{n-m}(z\in \mathrm{B}(z_0,r))$

와 같이 정의할 경우,

$g(z_0)=\frac{f^{(m)}(z_0)}{m!}\ne 0$

이고, 임의의 $z\in \mathrm{B}(z_0,r)$에 대하여

$f(z)=(z-z_0{)}^{m}g(z)$

이다. 따라서 $r$을 충분히 작게 다시 정의할 경우 $g$가 $\mathrm{B}(z_0,r)$에서 영점을 갖지 않게 만들 수 있으며, 이 경우 $f$는 $\mathrm{B}(z_0,r)\setminus \{z_0\}$에서 영점을 갖지 않는다. 이는 $z_0$이 $E$의 극한점인 데 모순이다.

이제 $S$가 열린집합임을 보이자. 임의의 $z_1\in S$를 고정하고, $\mathrm{B}(z_1,r)\subseteq D$인 $r>0$을 고정하자. 그렇다면, $f$는 $z_1$에서 정칙 함수이므로, 임의의 $z\in \mathrm{B}(z_1,r)$에 대하여

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(z_1)}{n!}(z-z_1{)}^n=0$

이다. 즉, $z\in S$이며, 따라서 $z_1$은 $S$의 내부점이다.

마지막으로 $S$가 $D$의 닫힌집합이라는 사실을 보이자. 임의의 $z_2\in S^{\prime }\cap D$를 고정하자. (여기서 $(-{)}^{\prime }$는 $ℂ$에서의 극한점의 집합이다.) 그렇다면, 임의의 $n\ge 0$에 대하여, $f^{(n)}$이 연속 함수이므로 $f^{(n)}(z_2)=0$이다. 즉, $z_2\in S$이다.

즉, $S$는 $D$의 열린닫힌집합이며, $S\ne \varnothing$이다. $D$는 연결 집합이므로, $S=D$이다. 특히, 임의의 $z\in D$에 대하여, $f(z)=0$이다.

예

항등 정리는 정의역이 연결 집합이 아닐 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 열린집합 $U\subseteq ℂ$가 두 연결 성분 $D,U\setminus D$를 가질 때, 함수

$f:U\to ℂ$

$f(z)=\{\begin{array}{cc}0& z\in D\\ 1& z\in U\setminus D\end{array}(z\in U)$

는 정칙 함수이며, 영점 집합 $D$는 정의역 $U$ 전체가 아니지만, $D$는 $U$에서 $D$의 모든 원소를 극한점으로 갖는다.틀:Rp

항등 정리는 정의역 전체가 아닌 영점 집합이 정의역에 속하지 않는 극한점을 가질 가능성을 배제하지 않는다. 예를 들어, 정칙 함수

$f:ℂ\setminus \{0\}\to ℂ$

$f(z)=\sin \frac{1}{z}(z\in ℂ\setminus \{0\})$

의 영점 집합

$\{\frac{1}{\pi },\frac{1}{2\pi },\frac{1}{3\pi },\dots \}$

은 $0\in ̸ℂ\setminus \{0\}$을 극한점으로 한다.틀:Rp

항등 정리는 실수 매끄러운 함수에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어, 함수

$f:ℝ\to ℝ$

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\exp (-1/x^2)\sin (1/x)& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}(x\in ℝ)$

는 매끄러운 함수이나, 영점 0은 영점 집합

$\{0,\frac{1}{\pi },\frac{1}{2\pi },\frac{1}{3\pi },\dots \}$

의 극한점이다.틀:Rp

같이 보기

• 반사 원리
• 해석적 연속

참고 문헌

• 틀:서적 인용