프톨레마이오스 정리

기하학에서 프톨레마이오스 정리(틀:Lang定理, 틀:Llang) 또는 톨레미 정리(틀:Lang定理)는 원에 내접하는 사각형의 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같다는 정리이다.

정의

프톨레마이오스 정리에 따르면, 내접 사각형 $A B C D$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

A C \cdot B D = A B \cdot C D + A D \cdot B C

이는 케이시의 정리의 특수한 경우이다.

증명

삼각형의 닮음을 통한 증명

사각형 $A B C D$ 의 외접원의 호 $A B$ 와 $B C$ 의 원주각의 성질에 의하여 $∠ B A C = ∠ B D C$ 이고 $∠ A D B = ∠ A C B$ 이다. 선분 $A C$ 위에서 $∠ A B K = ∠ C B D$ 를 만족시키는 점 $K$ 를 잡자. 그러면 $∠ A B D = ∠ C B K$ 이다. 따라서, 삼각형 $△ A B K$ 와 $△ D B C$ 는 닮음이고, 삼각형 $△ A B D$ 와 $△ K B C$ 역시 닮음이므로,

\frac{A K}{A B} = \frac{C D}{B D}

와

\frac{C K}{B C} = \frac{A D}{B D}

가 성립한다. $A K + C K = A C$ 이므로

A B \cdot C D + B C \cdot A D = A K \cdot B D + C K \cdot B D = A C \cdot B D

이다.

반전을 통한 역증명

사각형의 내접원과 이를 내부에 포함하는 반전원, 그리고 내접원에 반전을 가하여 얻은 직선 — 반전을 통한 증명의 도해

중심이 $D$ 인 단위원에 대한 반전에 대한 $A, B, C$ 의 상을 $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ 이라고 하자. 그러면 $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ 은 서로 다른 공선점이며, $B^{'}$ 은 $A^{'}$ 와 $C^{'}$ 사이의 점이다. 반전의 성질에 의하여

A^{'} B^{'} = \frac{A B}{A D \cdot B D}

B^{'} C^{'} = \frac{B C}{B D \cdot C D}

A^{'} C^{'} = \frac{A C}{A D \cdot C D}

이며, $A^{'} B^{'} + B^{'} C^{'} = A^{'} C^{'}$ 이므로,

\frac{A B}{A D \cdot B D} + \frac{B C}{B D \cdot C D} = \frac{A C}{A D \cdot C D}

가 성립한다.

따름정리

삼각 함수 항등식

프톨레마이오스 정리에서 한 대각선이 내접원의 지름인 경우는 두 각의 합의 사인 함수에 대한 항등식과 동치이다.^[1]틀:Rp 즉, 내접 사각형 $A B C D$ 의 대각선 $A C$ 가 내접원의 중심 $O$ 를 지난다고 하자. 편의상 내접원의 반지름이 1이라고 하자. 또한 $∠ B O C = 2 θ$ 이고 $∠ C O D = 2 φ$ 라고 하자. 그러면

A C = 2

B D = 2 \sin (θ + φ)

A B = 2 \cos θ

C D = 2 \sin φ

A D = 2 \cos φ

B C = 2 \sin θ

이므로, 프톨레마이오스 정리에 의하여

\sin (θ + φ) = \cos θ \sin φ + \cos φ \sin θ

가 성립한다.