프로베니우스 다양체

역사

보리스 두브로빈(Boris Dubrovin)이 정의하였다.^[1]

편의상 아인슈타인 표기법을 사용한다.

프로베니우스 다양체 $(M, g, A)$ 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

리만 다양체 $(M, g_{i j})$
3차 텐서장 $A_{i j k}$ . 이는 두 벡터장의 곱 $(X * Y)^{k} = A_{i j}^{k} X_{i} Y_{j}$ 를 정의한다.

이들은 다음 성질들을 만족시켜야 한다.

(평탄성) $(M, g)$ 의 리만 곡률이 0이다. 즉, $R_{i j}^{k}_{l} = 0$ 이며, 따라서 공변 미분 $\nabla$ 이 일반 편미분 $\partial$ 과 일치한다.
(적분가능성) 국소적으로, $A_{i j k} = \partial_{i} \partial_{j} \partial_{k} Φ$ 인 함수 $Φ$ 가 존재한다. (이는 대역적으로 성립하지 않을 수 있다.) 이를 프리퍼텐셜(틀:Llang) 또는 자유 에너지라고 부른다.^[2]틀:Rp 이에 따라 $A_{i j k}$ 는 완전 대칭이다. 즉, $A_{i j k} = A_{j i k} = A_{k i j}$ 이다.
(결합성) $*$ 는 결합법칙을 따른다. 즉, $(X * Y) * Z = X * (Y * Z)$ 이다. 성분으로 쓰면, $A_{i j}^{l} A_{l k}^{m} = A_{i l}^{m} A_{j k}^{l}$ 이다.

결합성 조건을 프리퍼텐셜로 쓰면 다음과 같다.

(\partial_{i} \partial_{j} \partial_{l} Φ) g^{l l^{'}} (\partial_{l^{'}} \partial_{k} \partial_{m} Φ) = (\partial_{i} \partial_{l} \partial_{m} Φ) g^{l l^{'}} (\partial_{j} \partial_{k} \partial_{l} Φ)

이를 위튼-데이크흐라프-페를린더-페를린더 방정식(틀:Llang) 또는 WDVV 방정식이라고 하며, 에드워드 위튼, 로베르튀스 데이크흐라프, 에릭 페를린더(Erik Verlinde), 헤르만 페를린더(Herman Verlinde)가 발견하였다.^[3]^[4]