프라티니 논증

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서, 프라티니 논증(-論證, 틀:Llang)는 유한군을 정규 부분군과 이 부분군의 쉴로브 부분군의 정규화 부분군의 곱으로 나타낼 수 있다는 정리이다.

정의

군 $G$와 소수 $p$가 주어졌고, $N$이 $G$의 유한 정규 부분군이며, $P$가 $N$의 쉴로브 p-부분군이라고 하자. 프라티니 논증에 따르면, 다음이 성립한다.틀:Rp

$G=N{\mathrm{N}}_G(P)$

여기서 ${\mathrm{N}}_G(P)$는 $G$ 속 $P$의 정규화 부분군이다.

증명

임의의 $g\in G$에 대하여, $gP{g}^{-1}$은 $N$의 쉴로브 p-부분군이다. 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 $N$에서 $P$와 켤레이다. 즉,

$ngP{g}^{-1}{n}^{-1}=P$

인 $n\in N$이 존재한다. 따라서 $ng\in {\mathrm{N}}_G(P)$이며,

$g\in n^{-1}{\mathrm{N}}_G(P)\subseteq N{\mathrm{N}}_G(P)$

이다.

응용

유한군 $G$와 소수 $p$가 주어졌고, $P$가 $G$의 쉴로브 p-부분군이며, ${\mathrm{N}}_G(P)\le H\le G$라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.틀:Rp

${\mathrm{N}}_G(H)=H$

특히,

${\mathrm{N}}_G({\mathrm{N}}_G(P))={\mathrm{N}}_G(P)$

이다. 틀:증명 $H$가 ${\mathrm{N}}_G(H)$의 정규 부분군이며,

$P\le {\mathrm{N}}_G(P)\le H$

는 $H$의 쉴로브 p-부분군이므로, 프라티니 논증에 의하여

${\mathrm{N}}_G(H)=H{\mathrm{N}}_{{\mathrm{N}}_G(H)}(P)\le H{\mathrm{N}}_G(P)=H\le {\mathrm{N}}_G(H)$

이다. 틀:증명 끝

역사

1885년에 조반니 프라티니(틀:Llang)가 유한군의 프라티니 부분군이 멱영군이라는 사실을 증명하기 위해 도입하였다.

외부 링크

• 틀:Proofwiki