퍼텐셜 단

퍼텐셜 계단(step potential)은 양자역학과 산란이론에서 쓰이는 모델 시스템이다. 단 모양의 퍼텐셜에서의 입자에 대한 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 푸는 것으로 구성되어 있고, 보통 이 모델의 퍼텐셜은 헤비사이드 계단함수로 나타낸다.

1차원 퍼텐셜 단

퍼텐셜

퍼텐셜 단

1차원 퍼텐셜 단의 퍼텐셜은 다음과 같이 헤비사이드 계단함수로 주어진다.

$V(x)=V_0\theta (x)$

여기서

$\theta (x)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ 1& x>0\end{array}$

일반해

경계조건을 무시하고 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 풀면 아래와 같은 파동함수를 얻는다.

$\psi (x)=\{\begin{array}{cc}A{e}^{ikx}+B{e}^{-ikx}& x<0\\ C{e}^{i{k}^{\prime }x}+D{e}^{-i{k}^{\prime }x}& x>0\end{array}$

여기서,

$k^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}$

$k{\text{'}}^2=\frac{2m(E-V_0)}{{\hslash }^2}$

이다.

경계조건

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식에 의하면 각 점에서 파동함수와 파동함수의 1차미분이 연속이여야 한다. 즉, 여기서는 파동함수에 대해

$\psi (0^{-})=\psi (0^{+})$

${\frac{d\psi }{dx}|}_{x=0^{-}}={\frac{d\psi }{dx}|}_{x=0^{+}}$

이 성립해야 한다. 여기서 0^-와 0⁺는 각각 좌극한과 우극한을 의미한다.

위를 정리하면 첫 번째 경계조건에서

$A+B=C+D$

두 번째 경계조건에서

$ik(A-B)=i{k}^{\prime }(C-D)$

를 얻는다.

반사와 산란

이제 이 상황을 고전역학적 관점과 비교해 볼 수 있다. 고전역학에서 퍼텐셜 단이 이렇게 있으면, 에너지가 단보다 높으면 (E > V₀ 단을 무시하고 통과할 것이고 에너지가 단보다 낮으면 (E < V₀) 단에서 모든 입자가 반사될 것이다.

하지만 양자역학적 관점에서는 다른 결과를 얻는다. 입자가 단의 낮은쪽에서 오는 경우에, 즉 D = 0 인 경우, 반사되는 입자와 관련된 상수 R = B와 투과하는 입자와 관련된 상수 T = C가 A에 대해 상대적으로 얼마의 값을 가지는지 확인해보자. 편의상 A를 1로 놓고 관계식

$1+R=T$

$k(1-R)=k^{\prime }T$

를 풀면

$R=\frac{k-k^{\prime }}{k+k^{\prime }}$

$T=\frac{2k}{k+k^{\prime }}$

를 얻는다. 각각의 확률흐름을 계산해보면 x < 0 에서

$j=\frac{\hslash k}{m}(1-|R{|}^2)$

x > 0에서

$j=\frac{\hslash k^{\prime }}{m}|T{|}^2$

가 되고 두 흐름이 x = 0에서 같아야 하므로

$\frac{\hslash k}{m}(1-|R{|}^2)=\frac{\hslash k^{\prime }}{m}|T{|}^2$

를 얻는다.

이제 여기서 반사된 흐름과 투과한 흐름의 양을 구할 수 있는데 반사된 흐름은

$\frac{\hslash k}{m}|R{|}^2=\frac{\hslash k}{m}{\left(\frac{k-k^{\prime }}{k+k^{\prime }}\right)}^2$

이고, 투과한 흐름은

$\frac{\hslash k^{\prime }}{m}|T{|}^2=\frac{\hslash k}{m}\frac{4k{k}^{\prime }}{{(k+k^{\prime })}^2}$

이다. 보다시피 두 흐름의 양을 더하면 처음의 흐름의 양과 같아진다.

같이 보기

• 유한 퍼텐셜 우물
• 상자속 입자
• 델타 퍼텐셜
• 퍼텐셜 장벽