유한 퍼텐셜 우물

무한 퍼텐셜 우물은 이상적인 계로서 양자 역학의 기본 개념을 잘 내포하고 있지만 실제로 구현되기 어렵다.

반면에 유한 퍼텐셜 우물(Finite potential well)의 경우 실체를 기술하기에 더 적절하다. 그 예로 GaAs층이 Ga_1-xAl_xAs 의 두 층 사이에 끼어있는 경우 유한 퍼텐셜 우물로써 기술할 수 있다.

정의

1차원 공간에서 퍼텐셜이 다음과 같은 구조를 가질 때 이 계를 유한 퍼텐셜 우물이라고 한다.

$V (x) = {\begin{matrix} 0, & if x < 0 outside \\ - V_{0}, & if 0 < x < a inside \\ 0, & if a < x outside \end{matrix}$

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)을 풀면 입자가 유한 퍼텐셜 우물속에 있을 때의 현상을 살펴볼 수 있다.

ψ = {\begin{matrix} ψ_{1}, & if x < 0 (the region outside the well) \\ ψ_{2}, & if 0 < x < a (the region inside the well) \\ ψ_{3} & if x > a (the region outside the well) \end{matrix}

라고 하자.

각 영역에서 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2} ψ_{1}}{d x^{2}} = E ψ_{1}

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2} ψ_{2}}{d x^{2}} - V_{0} ψ_{2} = E ψ_{2}

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2} ψ_{3}}{d x^{2}} = E ψ_{3}

k = \frac{\sqrt{2 m (E + V_{0})}}{ℏ}

q = \frac{\sqrt{- 2 m E}}{ℏ}

라고 놓으면 각 영역의 해는 다음과 같다.

\begin{matrix} ψ_{1} (x) & = e^{q x} \\ ψ_{2} (x) & = A e^{i k x} + B e^{- i k x} \\ ψ_{3} (x) & = C e^{- q x} \end{matrix}

경계 조건( $x = 0$ 과 $x = a$ 에서 $ψ$ 와 $\frac{d ψ}{d x}$ 가 연속인 조건)을 이용하면 계수를 구할 수 있고, 포텐셜 우물에서의 해를 구하게 되는 것이다.

정리하면

\begin{matrix} 1 & = A + B \\ q & = i k (A - B) \\ A e^{i k a} + B e^{- i k a} & = C e^{- q a} \\ i k (A e^{i k a} - B e^{- i k a}) & = - q C e^{- q a} \end{matrix}

이 되고, 연립방정식을 풀면 계수는 다음과 같다.

\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} (1 - i \frac{q}{k}) = B^{*} \\ B & = \frac{1}{2} (1 + i \frac{q}{k}) \\ C & = \frac{1}{2} e^{q a} (\frac{k}{q} + \frac{q}{k}) \sin k a \end{matrix}

경계 조건을 잘 정리하면

k a = (n - 1) π + 2 \cos^{- 1} \sqrt{1 + \frac{E}{V_{0}}} (n = 1, 2, 3, 4, . . .)

을 얻을 수 있고, 이 식과 처음에 정의했던

k = \frac{\sqrt{2 m (E + V_{0})}}{ℏ}

을 그래프로 그려보면 속박 상태를 확인할 수 있다. 이때 그래프의 교점으로부터 속박상태의 에너지를 구할 수 있다. 최종적으로 계산한 파동함수는 다음과 같다.

\begin{matrix} ψ_{1} (x) & = e^{q x} \\ ψ_{2} (x) & = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{E}{V_{0}}}} \sin {k (x - \frac{a}{2}) + \frac{n π}{2}} \\ ψ_{3} (x) & = (- 1)^{n + 1} e^{- q (x - a)} \end{matrix}

틀:출처 필요 문단 $V_{0}$ 의 크기가 무한히 커지는 경우 무한 퍼텐셜 우물이 된다. 유한 퍼텐셜 우물의 깊이가 깊어짐에 따라 그래프의 교점의 개수가 증가함을 확인할 수 있으므로 속박상태의 개수가 증가함을 알 수 있다.

퍼텐셜 우물의 경우 우물이 생긴 모양에 따라 대칭성을 이용하면 직관적으로 이해하기 용이하다. Quantum Dot, Quantum well, Superlattice 같은 구조를 갖는 계의 경우 유한 퍼텐셜 우물의 관점에서 물리적인 현상을 기술할 수 있다.