팽르베 방정식

틀:위키데이터 속성 추적 팽르베 방정식(틀:Llang)은 다음의 6개의 2차 비선형 해석적 상미분 방정식을 일컫는다.

P_{I} : \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 y^{2} + x

P_{I I} : \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2 y^{3} + x y + α

P_{I I I} : \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{y} {(\frac{d y}{d x})}^{2} - \frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (α y^{2} + β) + γ y^{3} + \frac{δ}{y}

P_{I V} : \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{2 y} {(\frac{d y}{d x})}^{2} + \frac{3}{2} y^{3} + 4 x y^{2} + 2 (x^{2} - α) + \frac{β}{y}

P_{V} : \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = (\frac{1}{2 y} + \frac{1}{y - 1}) {(\frac{d y}{d x})}^{2} - \frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{(y - 1)^{2}}{x^{2}} (α y + \frac{β}{y}) + c \frac{y}{x} + δ \frac{y (y + 1)}{y - 1}

P_{V I} : \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{2} (\frac{1}{y} + \frac{1}{y - 1} + \frac{1}{y - x}) {(\frac{d y}{d x})}^{2} - (\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{y - x}) \frac{d y}{d x}

+ \frac{y (y - 1) (y - x)}{x^{2} (x - 1)^{2}} [α + β \frac{x}{y^{2}} + γ \frac{x - 1}{(y - 1)^{2}} + δ \frac{x (x - 1)}{(y - x)^{2}}]

(※ α, β, γ, δ는 복소 상수이며, P_I ~ P_VI는 방정식의 이름을 나타낸다.)

정의

이하의 정리는 폴 팽르베에 의한 것이다.

R(a, b, c) 을 a의 도함수를 계수로 하는, b 와 c의 유리 함수라고 했을때,

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = R (x, y, \frac{d y}{d x})

그것이 움직이는 분기점을 갖지 않는다면, 선형방정식, 타원함수의 방정식, 그 외에 구적가능(눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 특정 도형의 면적과 같은 면적을 가진 정사각형의 작도가 가능)한 방정식 및 팽르베 방정식 가운데 하나로 전개되게 된다.