파피안

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 파피안(틀:Llang)은 짝수 차원의 정사각 반대칭 행렬에 대하여 정의하는 다항식이다. 이러한 행렬의 행렬식은 파피안의 제곱이다.

정의

가환환 $K$가 주어졌으며, $K$ 계수의 $2n\times 2n$ 실수 반대칭 정사각 행렬 $A\in \mathrm{Mat}(2n,2n;K)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $A$의 파피안 $\mathrm{pf}(A)$는 다음과 같다.

$\mathrm{pf}A=\frac{1}{2^{n}n!}\sum _{\sigma \in \mathrm{Sym}(2n)}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{A}_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}\in K$

여기서

• $\mathrm{Sym}(2n)$은 $\{1,2,\dots ,2n\}$의 순열들의 집합이다.
• $\mathrm{sgn}(\sigma )\in \{\pm 1\}$는 순열의 부호수이다.

위 공식을 따르면, $K$에서 $n!$의 역수가 존재해야 하는 것처럼 보이지만, 사실 그렇지 않다. 위 합에서, 각 항이 $2^{n}n!$번 등장하므로, 사실 위 공식에서 나눗셈이 필요하지 않다. 구체적으로, $\{1,2,\dots ,2n\}$의 분할 가운데, 크기 2의 집합들로 구성된 것들의 집합을 $\pi (2n)$이라고 하자. 그 크기는

$|\pi (2n)|=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}$

이다. $\pi (2n)$의 원소는 표준적으로

$a=\{\{a(1),a(2)\},\{a(3),a(4)\},\dots ,\{a(2n-1),a(2n)\}\}$

$\mathrm{\forall }k:a(2k)<a(2k+1)$

$a(1)<a(3)<a(5)<\cdots <a(2k-1)$

의 꼴로 적을 수 있다. 이를 순열

$\{1,\dots ,2n\}\to \{1,\dots ,2n\}$

$k\mapsto a(k)$

로 간주했을 때, 이는 포함 사상 $\pi (2n)\hookrightarrow \mathrm{Sym}(2n)$을 정의한다. 그렇다면, 파피안은 다음과 같다.

$\mathrm{pf}A=\sum _{a\in \pi (2n)}\mathrm{sgn}(a)A_{a(1),a(2)}{A}_{a(3),a(4)}\cdots A_{a(2n-1),a(2n)}\in K$

고윳값을 통한 정의

실수 반대칭 행렬의 경우, 파피안은 고윳값으로 간단히 표현된다. $2n\times 2n$ 실수 반대칭 정사각 행렬 $A\in \mathrm{Mat}(2n,2n;ℝ)$의 고윳값이 $\pm i{\lambda }_1,\dots ,\pm i{\lambda }_n$이라고 하자. 그렇다면 $A$의 파피안 $\mathrm{pf}(A)$는 ${\lambda }_i$들의 곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

$\mathrm{pf}A=\mathrm{pf}\left[\begin{array}{cccc}\begin{array}{cc}0& {\lambda }_1\\ -{\lambda }_1& 0\end{array}& 0& \cdots & 0\\ 0& \begin{array}{cc}0& {\lambda }_2\\ -{\lambda }_2& 0\end{array}& & 0\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & \begin{array}{cc}0& {\lambda }_n\\ -{\lambda }_n& 0\end{array}\end{array}\right]={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$

성질

파피안은 항상 행렬 원소들에 대한 다항식이다. 예를 들어, 4×4 행렬의 경우 파피안은 다음과 같다.

$\mathrm{pf}\left[\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ -a& 0& d& e\\ -b& -d& 0& f\\ -c& -e& -f& 0\end{array}\right]=af-be+dc$.

짝수 차원 반대칭 행렬의 고윳값은 $\pm i{\lambda }_1,\dots ,\pm i{\lambda }_n$의 꼴이므로, 그 행렬식은 파피안의 제곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

$\det A={\lambda }_1^2{\lambda }_2^2\cdots {\lambda }_n^2={(\mathrm{pf}A)}^2$

홀수 차원 반대칭 행렬은 통상적으로 0으로 정의한다. 0×0 행렬의 파피안은 (0개의 수의 곱이므로) 통상적으로 1이다.

짝수 차원 반대칭 행렬 $A$는 다음과 같이 2차 미분 형식 $\omega$로 나타낼 수 있다.

$\omega =\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^{2n}{A}_{ij}d{x}^i\wedge d{x}^j$.

그렇다면 그 파피안은 다음과 같다.

${\omega }^n/n!=\mathrm{pf}(A)d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^{2n}$

역사

파피안의 개념은 아서 케일리가 1852년의 한 논문에서 도입하였으며, 요한 프리드리히 파프의 이름을 땄다. 이 논문에서 케일리는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

같이 보기

• 행렬식
• 폴리오미노
• 통계역학

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab