파스칼의 삼각형

파스칼의 삼각형 속의 숫자들은 바로 윗 줄에 인접하는 두 숫자의 합으로 정의된다.

파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)은 수학에서 이항계수를 삼각형 모양으로 배열한 것이다. 이것은 블레즈 파스칼의 이름을 따 명명되었지만, 그가 처음 발견한 것은 아니고 수세기 전에 인도, 페르시아, 중국, 독일, 이탈리아 등에서 이미 연구된 바가 있다.

간단히 말하자면, 파스칼의 삼각형은 다음과 같은 방법으로 만들 수 있다.

1. 첫 번째 줄에는 1을 쓴다.
2. 그 다음 줄을 만들 때 바로 위의 왼쪽 숫자와 오른쪽 숫자를 더한다(오른쪽 그림 참고). 예를 들어, 네 번째 줄의 숫자 1과 3을 더하여 다섯 번째 줄의 4가 만들어진다.

파스칼의 법칙을 이용해 이 규칙을 아래와 같이 수학적으로 표현할 수 있다. n 번째 줄의 k 번째 값을 $a_{nk}$라고 할 때,

$a_{n1}=1$

$a_{nn}=1$

$a_{nk}=a_{n-1k-1}+a_{n-1k}$ $(n,k>=0)$

으로 정의된다. 이때,

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})$

조합 배열의 예

처음2줄

가장자리의 수는 없는 부분이 '0' 이라고 생각해서 1을 더하고 나온 값인 1을 그대로 내려온다.

$1$

$11$

파스칼의 삼각형의 3열의 모든 숫자는 자신의 상위 열의 2개 숫자를 더해서 만든다.

가장자리의 수는 계속해서 0과 1을 더한다고 생각하고 1을 그대로 내린다.

$1$

$11$

$121$

파스칼 삼각형의 6열. 네 번째 줄의 1과 3을 더해 다섯 번째 줄의 4를 만든다.

네 번째 줄의 3과 3을 더해 다섯 번째 줄의 6을 만든다.

11줄

19줄

                                                 1               -> n=0 일때
                                              1     1            -> n=1 일때
                                           1     2     1         -> n=2 일때
                                        1     3     3     1          .
                                     1     4     6     4     1       .
                                  1     5     10    10    5     1    .
                               1     6     15    20    15    6     1
                            1     7     21    35    35    21    7     1
                          1    8     28    56    70    56    28    8     1
                       1    9     36    84   126   126   84    36    9     1
                    1    10    45   120   210   252    210   120    45    10    1
                 1    11    55   165   330   462    462   330    165   55    11    1
              1    12    66   220   495   792    924   792    495   220    66    12    1
            1   13    78    286  715   1287  1716   1716  1287   715    286   78    13    1
         1   14    91   364   1001  2002  3003   3432   3003   2002   1001  364    91    14    1
      1   15   105   455  1365  3003   5005  6435   6435   5005   3003   1365  455   105   15    1
    1  16   120   560  1820  4368  8008  11440   12870  11440   8008   4368  1820  560   120    16   1
  1  17  136  680  2380  6188  12376  19448  24310   24310  19448  12376  6188   2380  680   136   17   1
1  18 153  816  3060  8568  18564  31824  43758  48620  43758  31824  18564  8568  3060   816   153  18  1

파스칼의 삼각형의 응용

파스칼의 삼각형은 이항정리에서 계수들의 값을 계산하는 데에 사용된다. 예를 들어서

$(x+1{)}^2=1\cdot x^2+2\cdot x+1$

라는 식에서, 각 계수의 값인 1, 2, 1은 파스칼의 삼각형의 3번째 줄에 대응된다.

일반적으로,

$(x+y{)}^n=a_0{x}^n{y}^0+a_1{x}^{n-1}{y}^1+a_2{x}^{n-2}{y}^2+\cdots +a_{n-2}{x}^2{y}^{n-2}+a_{n-1}{x}^1{y}^{n-1}+a_n{x}^0{y}^n$

와 같은 전개식에서, $a_i=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})$ 가 성립한다. 즉, $a_i$는 파스칼의 삼각형의$(n+1)$번째 행(row)의 $(k)$ 번째 열(column) 값과 순차적으로 대응된다.

소스코드

파이썬

def pTriangle(n):
    p = []
    
    for row in range(n):
        tmp = [1] * (row + 1)
        for col in range(1, row):
            tmp[col] = p[row-1][col-1] + p[row-1][col]
        p.append(tmp)

    return p

스칼라

//파스칼 삼각형 소스코드
var height:Int = 0

def pTriangle(given:Array[Int], stop:Int):Unit =  {

    println(given.deep.toString)
    height = height + 1

    if (height < stop) {
          val next = Array.ofDim[Int](given.length + 1)

    	  for (i <- 0 until next.length) {
      	    if (i == 0 || i == next.length-1) next(i) = 1
    		    else next(i) = given(i-1) + given(i)
    		  }

    		  pTriangle(next, stop)
      } else {
        height = 0
      }
 }

C#

public class PascalsTriangle
{
    static void PascalTriangle(int n)
    {
        for (int line = 1; line <= n; line++)
        {
            int c = 1;
            for (int i = 1; i <= line; i++)
            {
                Console.WriteLine(c);
                c = c * (line - i) / i;
            }
            Console.WriteLine("\n");
        }
    }

    public static int Main(int input)
    {
        PascalTriangle(input);
        return input;
    }
}

일반화

파스칼의 삼각형은 더 높은 차원으로 확장하여 일반화할 수 있다. 3차원 형태는 파스칼의 피라미드 또는 파스칼의 4면체로 부른다. 더 높은 차원의 유사체를 일반적으로 총칭하여 "파스칼의 단체"라고 말한다.

같이 보기

• 피라미드
• 사면체
• 단체(單體)
• 곱셈 공식