파르스발 항등식

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서, 파르스발 항등식(Parseval恒等式)은 푸리에 급수의 수렴성에 관한 중요한 결과이다. 수학자 마르크앙투안 파르스발의 이름을 땄다. 기하학적 관점에서 파르스발 항등식은 내적 공간에서의 피타고라스 정리로 볼 수 있다.

$H$가 힐베르트 공간이라 하고, $B=\{e_1,e_2,...\}$가 $H$의 정규 직교 기저라 하자. 그러면 임의의 $x\in H$에 대해 다음이 성립한다.

$\sum _{e\in B}{\left|⟨x,e⟩\right|}^2={\Vert x\Vert }^2.$

피타고라스 정리에 따르면 벡터의 길이의 제곱은 정규 직교 기저로 나타낸 성분들의 제곱의 합과 같은데, 파르스발 항등식은 이를 일반화한 것이라 할 수 있다.

보다 일반적으로, 파르스발 항등식은 $H$가 내적 공간이고 $B$의 선형생성이 $H$에서 조밀한 경우에도 성립한다. $B$가 조밀하지 않은 경우 등호가 성립하지 않을 수도 있으며, 대신에 등호를 부등호 ≤로 바꾼 베셀 부등식이 성립한다.

푸리에 급수

구체적인 예로, 힐베르트 공간 $L^2([-\pi ,\pi ])$와 정규 직교 기저 $\{e^{inx}:n\in \mathbb{Z}\}$를 생각해 보자. 함수 $f\in L^2([-\pi ,\pi ])$의 푸리에 계수를

$c_n=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)e^{-inx}dx$

라 하면, 파르스발 항등식에 의해 다음이 성립한다.

$\Vert f{\Vert }^2=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}|f(x){|}^{2}dx=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2$

외부 링크

• 틀:언어링크 틀:Springer
• 틀:언어링크 Parseval's Theorem 파르스발 항등식에 대한 매스월드 문서.