특수 켈러 다양체

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학과 이론물리학에서 특수 켈러 다양체(틀:Llang)와 경직 특수 켈러 다양체(틀:Llang)는 특별한 추가 구조를 갖는 켈러 다양체이다.

정의

경직 특수 켈러 다양체

경직 특수 켈러 다양체 $M$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 복소수 $n$차원 켈러 다양체 $M$
• $M$ 위의 $2n$차원 복소수 아핀 공간 다발 $E$. 또한,
  • 이 아핀 다발은 각 올에 다음과 같은 꼴의 심플렉틱 내적을 갖는다.

    $⟨u,v⟩=u^{\mathrm{\top }}\left(\begin{array}{cc}0& 1_{n\times n}\\ -1_{n\times n}& 0\end{array}\right)v$

  • 이 아핀 다발의 전이 함수는 (적절한 열린 덮개의 두 원소 $U,V$에 대하여) 다음과 같은 꼴이다.
  • $v\mapsto \exp (\mathrm{i}c)Mv+B(c\in ℝ,:M\in \mathrm{Sp}(2n;ℝ),B\in {ℂ}^{2n})*<math>E$의 정칙 단면 $V$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• $⟨{\partial }_i,{\partial }_{j}V⟩=0$
• $M$의 켈러 형식은 다음과 같아야 한다.

  $K=-\frac{1}{2\pi }\partial \overline{\partial }⟨V,\overline{V}⟩\in {\mathrm{\Omega }}^{1,1}(M)$

특수 켈러 다양체

경직 특수 켈러 다양체 $M$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 복소수 $n$차원 켈러 다양체 $M$. 또한, 그 켈러 형식 $K\in {\mathrm{\Omega }}^{1,1}(M)$의 돌보 코호몰로지류는 정수 계수 코호몰로지 $[K]\in {\mathrm{H}}^2(M;\mathbb{Z})/\mathrm{Tors}({\mathrm{H}}^2(M;\mathbb{Z}))$에 속한다. 이를 천 특성류로 갖는 정칙 선다발을 $L$이라고 하자.
• $M$ 위의 $2(n+1)$차원 복소수 벡터 다발 $E$. 또한,
  • 이 벡터 다발은 각 올에 다음과 같은 꼴의 심플렉틱 내적을 갖는다.

    $⟨u,v⟩=u^{\mathrm{\top }}\left(\begin{array}{cc}0& 1_{n\times n}\\ -1_{n\times n}& 0\end{array}\right)v$

  • 이 벡터 다발의 전이 함수는 (적절한 열린 덮개의 두 원소 $U,V$에 대하여) 다음과 같은 꼴이다.
  • $v\mapsto \exp (\mathrm{i}f)Mv(f:U\cap V\to ℂ,\overline{\partial }f=0,M\in \mathrm{Sp}(2n;ℝ))$
• $L\otimes E$의 정칙 단면 $v$. 이는 다음 조건을 만족시킨다.
  • $⟨v,{\partial }_{i}v⟩=0$
  • $K=-\frac{\mathrm{i}}{2\pi }\partial \overline{\partial }\ln (\mathrm{i}⟨\overline{v},v⟩)\in {\mathrm{\Omega }}^{1,1}(M)$

응용

경직 특수 켈러 다양체는 중력을 포함하지 않는 4차원 $𝒩=2$ 초대칭 이론의 모듈러스 공간으로 등장한다. 마찬가지로, 특수 켈러 다양체는 4차원 $𝒩=2$ 초중력 이론의 모듈러스 공간으로 등장한다.

참고 문헌

• 틀:저널 인용