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...]]까지 포함하도록 구성된, 집합이 아닌 [[전순서 집합|전순서]] 모임(proper class)이다. [[폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론]]에서 생각할 경우 초현실수 체는 모든 [[순서체]]를 부분체로 포함할 수 있다. {{수 체계}} ...

* 어떤 것도 포함하지 않는 [[집합]]([[공집합]])이 존재한다. ([[공리적 집합론]]) * 집합 S와 조건식 P가 주어졌을 때, S의 원소 중에서, 조건 P(x)를 만족하는 x만으로 구성된 집합을 만들 수 있다. (공리적 집합론) ...

...[모형이론]]에 [[의미론]]적 성질이 있는 데 대조적으로 증명 이론에는 [[통사론|구문론]]적 성질이 있다. [[모형 이론]], [[집합론]], [[재귀 이론]]과 함께 증명 이론은 [[수학기초론]]의 4대 기둥이라고도 불린다. ...체계로부터 나온 공리계의 무모순성을 증명할 수 없음이 증명되면서 힐베르트의 목적은 불가능한 것으로 판명되었다. 이들 연구는 힐베르트 체계(Hilbert system)이라는 증명계산 상에서 이루어졌다. ...

...NBG''')은 [[모임 (집합론)|모임]]을 다루는 [[공리적 집합론]]의 하나이다. [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]](ZFC)의 [[보존적 확장]]이다. 즉, 순수하게 집합에 대한 명제에 대하여, ZFC에서의 증명 가능성과 NBG에서의 증명 가능성이 ZFC와는 달리 NBG는 [[모임 (집합론)|모임]]을 직접적으로 다루며, 특히 모든 [[집합]]의 [[고유 모임]]이나 모든 [[순서수]]의 [[고유 모임]] 등을 이론 밖으로 ...

{{다른 뜻|집합의 크기||[[집합론]]의 농도}} {{다른 뜻|농도 (도로)||[[일본]]의 [[도로]] 체계}} ...

[[수리논리학]]에서 '''새 기초'''({{llang|en|New Foundations}}, 약자 NF)는 [[공리적 집합론]]의 일종이다.<ref name="Forster">{{서적 인용|이름=Thomas Edward|성=Forster|제목=Set theor ...[전체 집합]]을 포함하며, … xn ∈ xn-1 ∈ …x3 ∈ x2 ∈ x1 과 같은 원소관계의 무한 강하 사슬을 허용하는 비정초적 집합론(non-well-founded set theory)이다. NFU를 받아들일 시 [[페아노 산술]]과의 [[무모순성|상대적 무모순성]]이 ...

...ratorname{Aut}^\alpha(G),(\phi_{\beta\alpha})_{\beta<\alpha})</math>는 [[유향 체계]] <math>((\operatorname{Aut}^\beta(G))_{\beta<\alpha},(\phi_{\beta\gamma})_ .../math>가 [[비가산 기수]]라면, <math>(2^\kappa)^+</math>는 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서 명제 <math>\tau_{\operatorname{Aut}}(\kappa)<(2^\kappa)^+</math>를 증명 가능한 ...

...계]]를 이룬다. 그렇다면 '''기수'''는 집합의 이 동치 관계에 대한 [[동치류]]로 정의할 수 있다. 그러나 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서는 이러한 동치류는 [[고유 모임]]이 되며, 이는 기술적으로 문제를 일으킨다. 예를 들어, 기수들의 집합을 정의할 수 없다. 반 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서는 집합의 동치류의 대표원을 다음과 같이 고를 수 있다. 이는 [[존 폰 노이만]]이 도입한 정의다. ...

...만족시켜야 하는 일련의 [[공리]]들을 제시하여 자연수를 일종의 무정의 개념으로 간주할 수 있으며, 이러한 자연수의 공리들이 이루는 체계 가운데 가장 자주 사용되는 하나는 [[페아노 공리계]]이다. [[수리논리학]]에서 이는 자연수의 [[구조 (논리학)|이론]]에 해당된다 자연수 이론의 한 가지 모형 <math>(\mathbb N,0,s)</math>을 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. ...

* 특정 논리식 집합으로부터 다른 논리식을 '''추론'''할 수 있다. 이에 대한 규칙은 힐베르트 체계 및 다른 여러 방식으로 명시될 수 있다. 1차 논리의 [[증명 이론]]은 다양한 방식으로 공리화할 수 있다. 예를 들어 [[다비트 힐베르트]]의 [[힐베르트 체계]]({{llang|en|Hilbert system}})나, [[게르하르트 겐첸]]의 [[시퀀트 계산]]({{llang|en|sequen ...

...갖는 실수 [[부분 집합]]이 존재하지 않는다는 명제이다. 연속체 가설은 ZFC(즉, [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]])에서 증명할 수도, 반증할 수도 없으며, 연속체 가설을 만족하거나, 그 부정을 만족하는 ZFC의 [[모형 (논리학)|모형]]이 모두 실수 체계 <math>(\R, +, \cdot, <)</math>는 실수의 [[공리계]]를 통해 정의하거나, 구체적인 [[모형 (논리학)|모형]] ...

...ath>\mathsf f</math> 및 <math>n</math>항 관계 <math>\mathsf R</math>. 예를 들어, [[집합론]]의 언어는 하나의 2항 관계 <math>\in</math>를 갖는다. 다른 예로, [[순서체]]의 언어는 2항 연산 <math>+</ ...있다. 특히, 1항 관계 변수는 <math>X</math>의 모든 부분 집합의 값을 가질 수 있다. 반면, 1차 논리 모형에서는 ([[집합론]]의 언어를 사용할 경우, [[추이적 모형]]의 경우) 1차 논리 언어로 정의 가능한 <math>X</math>의 부분 집합만을 다룰 ...

...|en|Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice}}, 약자 ZFC)은 [[공리적 집합론]]의 하나이다. 현대 수학의 표준적인 [[수학기초론]]으로 사용된다. '''선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론'''은 [[1차 논리]]를 기반으로 하는 1차 [[집합론]]이며, 등호 밖에 하나의 [[이항 관계]] <math>\in</math>만을 가진다. [[논의 영역]]은 '''[[집합]]'''들이다 ...

[[집합론]]에서 '''선택 공리'''(選擇公理, {{llang|en|axiom of choice}}, 약자 AC)는 공집합이 아닌 집합에서 한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]] 아래, 임의의 [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>\mathsf{AC}_n</math ...

...별되어 쓰인다. 즉, 한 [[공리]] 체계에서 [[연역|연역적]]으로 어떤 정리를 도출할 수 있으면 그 정리는 증명가능한 것인데, 그 체계 내에서 거짓임을 증명할 수 없는 어떤 진술이 항상 참임을 증명할 수 있다는 보장은 없는 것이다. ...술"이란, 메타 수학, 즉, 수학에 대한, 수학을 설명하는 언어에 속하는 것이다. 체계 안에서 사용된 부호에 대한 진술일 수도 있고, 체계 그 자체에 대한 진술일 수도 있다. 예를 들어 "1+1=2"는 수학에 속하는 것이지만, "'1+1=2'는 산술 공식이다."는 초수학에 ...

페아노 체계는 ([[ZF 집합론]]에 더하여) 자연수의 집합론적 구성법으로부터도 도출될 수 있다. [[존 폰 노이만]]에 의해 정립된 자연수의 표준 구성법에서는 0을 ...한 집합론 체계들과 [[등무모순적]]임이 알려져 있다. 예를 들어, [[ZFC]]에서 [[무한 공리]]를 무한 공리의 부정으로 대체한 체계(ZFC - inf + ~inf) 등이 있다. ...

...{{llang|en|inconsistency-tolerant logic}})란, [[모순]]을 특별한 방법으로 다루는 [[논리학|논리 체계]]이다. 또는 모순에 대하여 내성 있는 논리 전반을 가리키는 말이기도 하다. * [[집합론]] 등 수학의 기초: [[러셀의 역설]]이나 [[괴델의 불완전성 정리]]와의 관련으로 모순허용논리를 중시하는 입장도 있다. ...

0.999…와 1의 등가성은 실수의 체계(해석학에서 가장 일반적으로 이용되는 체계)에 [[0]]이 아닌 [[무한소]]가 존재하지 않는 것과 깊이 관련되어 있다. 한편 [[초실수]]의 체계와 같이 0이 아닌 무한소를 포 [[집합론#공리적 집합론|공리적 집합론]]을 이용하여 실수의 집합을 유리수의 집합을 통해 조립된 어떠한 종류의 구조로서 명시적으로 정의하는 방법은 여러 가지가 존재한다. 먼저 ...