특성함수 (확률론)

틀:위키데이터 속성 추적 확률변수의 특성함수(特性函數, 틀:Llang)는 각각의 확률 분포와 일대일 대응이 되는 함수로, 특성함수를 이용하여 확률분포의 기댓값이나 분산 등의 값을 알아낼 수 있다. 특성함수는 모멘트생성함수와 유사하지만, 모멘트생성함수는 일부 분포에 대해서 존재하지 않을 수 있는 것에 비해 특성함수는 실수값에 대하여 항상 존재한다.

실수 $t$에 대해, 확률변수 $X$의 특성함수 ${\phi }_X(t)$는 다음과 같이 정의된다.

${\phi }_X(t)=\mathrm{E}[e^{itX}]=\underset{ℝ}{\int }{e}^{itx}f(x)dx$.

여기서 $f(x)$는 $X$의 확률밀도함수이다.

예제

다음은 자주 사용되는 확률분포의 모멘트생성함수와 특성함수의 목록이다.

분포	모멘트생성함수	특성함수
이항 분포 B(n, p)	$(1-p+p{e}^t{)}^n$	$(1-p+p{e}^{it}{)}^n$
푸아송 분포 Pois(λ)	$e^{\lambda (e^t-1)}$	$e^{\lambda (e^{it}-1)}$
연속균등분포 U(a, b)	$\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}$	$\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}$
정규분포 N(μ, σ2)	$e^{t\mu +\frac{1}{2}{\sigma }^2{t}^2}$	$e^{it\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2{t}^2}$
카이제곱 분포 χ2k	$(1-2t{)}^{-k/2}$	$(1-2it{)}^{-k/2}$
감마 분포 Γ(k, θ)	$(1-t\theta {)}^{-k}$	$(1-it\theta {)}^{-k}$
지수분포 Exp(λ)	$(1-t{\lambda }^{-1}{)}^{-1}$	$(1-it{\lambda }^{-1}{)}^{-1}$
다변량 정규분포 N(μ, Σ)	$e^{t^{\mathrm{T}}\mu +\frac{1}{2}{t}^{\mathrm{T}}\mathrm{\Sigma }t}$	$e^{i{t}^{\mathrm{T}}\mu -\frac{1}{2}{t}^{\mathrm{T}}\mathrm{\Sigma }t}$
퇴화분포 δa	$e^{ta}$	$e^{ita}$
라플라스 분포 L(μ, b)	$\frac{e^{t\mu }}{1-b^2{t}^2}$	$\frac{e^{it\mu }}{1+b^2{t}^2}$
코시 분포 Cauchy(μ, θ)	정의되지 않음	$e^{it\mu -\theta |t|}$
음이항 분포 NB(r, p)	$\frac{(p{e}^t{)}^r}{(1-(1-p)e^t{)}^r}$	$\frac{p^r}{(1-(1-p)e^{it}{)}^r}$