테이트 코호몰로지 군

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 테이트 코호몰로지군(틀:Llang)은 유한군의 일반적인 코호몰로지 군들을 약간 변형한 형태로 호몰로지 군과 코호몰로지 군을 하나의 열로 합친 것이다. 1952년 존 테이트가 도입하였다. 정수론의 한 부분야인 유체론에 등장한다.

정의

$G$가 유한군이고 $A$가 $G$-가군 이면 자연 사상 $N$ $N:H_0(G,A)\to H^0(G,A)$, $a\mapsto \sum _{g\in G}ga$$\sum _{g\in G}ga$ ( $a$의 모든 $G$-켤레에 대한 합)이 있다. 테이트 코호몰로지 군 ${\hat{H}}^n(G,A)$는 다음과 같이 정의된다:

• ${\hat{H}}^n(G,A)=H^n(G,A)$ $\mathrm{\forall }n\ge 1$
• ${\hat{H}}^0(G,A)=\mathrm{coker}N=$ $H^0(G,A)$의 몫 $A$원소의 노름에 의해,
• ${\hat{H}}^{-1}(G,A)=\ker N=$$A$의 주 원소에 의한 $A$의 노름 0 원소의 몫,
• ${\hat{H}}^n(G,A)=H_{-n-1}(G,A)$ $\mathrm{\forall }n\le -2$.

성질

만약

$0⟶A⟶B⟶C⟶0$

가 $G$-가군의 짧은 완전열이면, 테이트 코호몰로지 군의 일반적인 긴 완전열을 얻는다.

$\cdots ⟶{\hat{H}}^n(G,A)⟶{\hat{H}}^n(G,B)⟶{\hat{H}}^n(G,C)⟶{\hat{H}}^{n+1}(G,A)⟶{\hat{H}}^{n+1}(G,B)\cdots$

• A 가 유도된 G 가군이면 A 의 모든 테이트 코호몰로지 군이 사라진다.
• A 의 0번째 테이트 코호몰로지 군은

($A$에 대한 $G$의 고정점들)/($A$에 작용하는 $G$의 자명한 고정점들)

이다. 여기서 "자명한" 고정점은 $\sum ga$ 형태을 의미한다. 즉, 어떤 의미에서 영 코호몰로지 군은 $A$에 작용하는 $G$의 자명하지 않은 고정점을 설명한다.

테이트 정리

테이트 정리틀:하버드 인용는 코호몰로지 군 간의 동형사상이 되도록 코호몰로지류에 의한 곱셈에 대한 조건을 제공한다. 약간 다른 버전이 몇 가지 있다. 유체론에 특히 편리한 버전은 다음과 같다.

$A$는 유한 군 $G$에 대한 가군이고 $a$는 $G$의 모든 부분군 $E$에 대해

• $H^1(E,A)$이 자명하고
• $H^2(E,A)$은 $\mathrm{Res}(a)$에 의해 생성된다. 위수 E 를 가진다.

인 $H^2(G,A)$의 원소라고 가정한다. 그러면 모든 $n$에 대해 $a$와의 컵곱은 동형사상

• ${\hat{H}}^n(G,\mathbb{Z})⟶{\hat{H}}^{n+2}(G,A)$

이다. 즉, $A$의 등급 테이트 코호몰로지는 적분 계수가 있는 테이트 코호몰로지와 동형이며 차수는 2만큼 이동한다.

Tate-Farrell 코호몰로지

F. 토마스 파렐은 테이트 코호몰로지 군을 유한 가상 코호몰로지 차원의 모든 군 G의 경우로 확장했다. 파렐의 이론에 따르면, 군 ${\hat{H}}^n(G,A)$

들은 n이 군 G의 가상 코호몰로지 차원보다 클 때마다 일반 코호몰로지 군과 동형이다. 유한군은 가상 코호몰로지 차원 0을 가지며, 이 경우 파렐의 코호몰로지 군은 테이트의 코호몰로지 군과 같다.

• 허브랜드 지수
• 특성류 구성

참고 문헌

• M. F. Atiyah and C. T. C. Wall, "코호몰로지 of Groups", in Algebraic Number Theory by J. W. S. Cassels, A. Frohlich 틀:Isbn, Chapter IV. See section 6.
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:인용