크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개(Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz덮개, 틀:Llang)는 특정한 조건을 만족시키는, 단체의 닫힌집합으로 구성된 덮개이다. 구체적으로, 단체의 (꼭짓점의 부분 집합의 볼록 폐포인) 부분 단체는 각 꼭짓점에 대응되는 닫힌집합들로 덮혀져야 한다. 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리(Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz定理, 틀:Llang)에 따르면, 모든 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개는 적어도 하나 이상의 점을 공유한다 (즉, 그 교집합은 공집합이 될 수 없다).

정의

$n+1$개의 꼭짓점을 갖는 $n$차원 단체 ${\mathrm{△}}^n\subseteq {ℝ}^n$을 생각하고, 그 꼭짓점들의 집합을

$V\subseteq {\mathrm{△}}^n$

$|𝒱|=n+1$

이라고 하자.

만약 ${\mathrm{△}}^n$ 속의, $n+1$개 집합으로 구성된 집합족

$\{C_v{\}}_{v\in V}\subseteq \mathrm{Pow}({\mathrm{△}}^n)$

이 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개라고 한다.

• 임의의 $v\in V$에 대하여, $C_v$는 닫힌집합이다.
• 임의의 꼭짓점의 집합 $I\subseteq V$에 대하여, $\{C_v{\}}_{v\in I}$는 $I$의 볼록 폐포에 해당하는 $|I|-1$차원 단체 $\mathrm{Conv}(I)$의 덮개를 이룬다. 즉, $\bigcup _{v\in I}{C}_i\supseteq \mathrm{Conv}(I)$이다.

성질

둘째 조건에서, $I=V$인 경우에 의하여, $\{C_v{\}}_{v\in V}$는 ${\mathrm{△}}^n$의 덮개를 이루어야 한다. 마찬가지로, $|I|=1$인 경우에 의하여, 임의의 $v\in V$에 대하여 항상 $v\in C_v$이다.

크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리에 따르면, $n\ge 0$일 때, 모든 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개의 교집합은 절대로 공집합이 될 수 없다 (즉, $\bigcap _{v\in V}{C}_v\ne \varnothing$).

보다 일반적으로, ${\mathrm{△}}^n$ 위의, $n+1$개의 서로 다른 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개가 주어졌다고 하자. 즉, 집합족

$\{C_{u,v}{\}}_{(u,v)\in V^2}\subseteq \mathrm{Pow}({\mathrm{△}}^n)$

에서, 각 $u\in V$에 대하여

$\{C_{u,v}{\}}_{v\in V}$

가 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개를 이룬다고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 순열 $\sigma \in \mathrm{Sym}(V)$이 존재한다.

$\bigcap _{v\in V}{C}_{\sigma (v),v}\ne \varnothing$

예

$n=2$일 때, 2차원 단체 (즉, 삼각형) ${\mathrm{△}}^2$의 다음과 같은 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개를 생각하자.

즉,

• 붉은 집합 · 푸른 집합 · 녹색 집합의 합집합은 삼각형의 닫힌 덮개를 이룬다.
• 붉은 집합 · 녹색 집합은 수직 변의 닫힌 덮개를 이룬다.
• 붉은 집합 · 푸른 집합은 수평 변의 닫힌 덮개를 이룬다.
• 녹색 집합 · 푸른 집합은 대각 변의 닫힌 덮개를 이룬다.
• 붉은 집합 · 푸른 집합 · 녹색 집합은 각각 한 꼭짓점을 포함한다.

이 경우, 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리에 따라 붉은 집합 · 푸른 집합 · 녹색 집합은 한 점을 공유하며, 이는 삼각형 가운데의, 세 집합이 맞닿는 점이다.

역사

브로니스와프 크나스테르(틀:Llang) · 카지미에시 쿠라토프스키 · 스테판 마주르키에비치가 1929년에 이 조건 및 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리를 증명하였다.

복수의 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개에 대한 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리의 일반화는 데이비드 게일(틀:Llang, 1921~2008)이 1984년에 증명하였다.

외부 링크

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