코시 곱

틀:위키데이터 속성 추적 미적분학에서, 두 급수의 코시 곱(틀:Llang)은 두 급수의 곱으로 수렴하는 급수의 하나다. 두 급수의 합성곱을 항으로 한다.

정의

두 복소수 항 급수 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 및 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$의 코시 곱은 다음과 같은 급수다.

$\begin{array}{cc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_0{b}_n+a_1{b}_{n-1}+\cdots +a_n{b}_0)\\ & =a_0{b}_0+(a_0{b}_1+a_1{b}_0)+(a_0{b}_2+a_1{b}_1+a_2{b}_0)+\cdots \end{array}$

두 급수의 항의 곱을 무한한 행렬

$\begin{array}{cccc}{a}_0{b}_0& a_0{b}_1& a_0{b}_2& \cdots \\ a_1{b}_0& a_1{b}_1& a_1{b}_2& \cdots \\ a_2{b}_0& a_2{b}_1& a_2{b}_2& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮\end{array}$

위에 배열하였을 때, 코시 곱의 $n$번째 항은 (오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 향하는) $n$번째 대각선 성분들의 합이다.

성질

합

만약 두 급수 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$, $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$와 코시 곱 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}$이 모두 수렴한다면, 코시 곱은 두 급수의 곱이다.틀:Rp

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}=\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\right)\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\right)$

이는 아벨 극한 정리를 통해 보일 수 있으며, 닐스 헨리크 아벨이 처음 증명하였다.

수렴할 충분조건

메르텐스 정리(틀:Llang)에 따르면, 임의의 두 수렴급수 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$, $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$에 대하여, 만약 적어도 하나가 절대 수렴한다면, 코시 곱은 수렴한다.틀:Rp 틀:증명 편의상 급수 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$이 절대 수렴한다고 가정하자. 다음과 같이 쓰자.

$A_n=\sum _{k=0}^n{a}_k,B_n=\sum _{k=0}^n{b}_k,C_n=\sum _{k=0}^n{c}_k,c_n=\sum _{k=0}^n{a}_{n-k}{b}_k$

$A=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,B=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$

그렇다면, 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}{C}_n& =a_0{b}_0+(a_0{b}_1+a_1{b}_0)+\cdots +(a_0{b}_n+a_1{b}_{n-1}+\cdots +a_n{b}_0)\\ & =a_0{B}_n+a_1{B}_{n-1}+\cdots +a_n{B}_0\\ & =a_{0}B+a_{1}B+\cdots +a_{n}B+a_0(B_n-B)+a_1(B_{n-1}-B)+\cdots +a_n(B_0-B)\\ & =A_{n}B+a_0(B_n-B)+a_1(B_{n-1}-B)+\cdots +a_n(B_0-B)\end{array}$

정리의 가정에 의하여, 다음과 같이 정의한 $A^{\prime },M\ge 0$은 유한한 수이다.

$A^{\prime }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$

$M=\sup \{|B_0-B|,|B_1-B|,\dots \}$

임의의 $ϵ>0$을 취하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 $n^{\prime }\in \{0,1,\dots \}$이 존재한다.

• 모든 $n\in \{n^{\prime }+1,n^{\prime }+2,\dots \}$에 대하여, $|B_n-B|<\frac{ϵ}{2(A^{\prime }+1)}$
• 모든 $n\in \{n^{\prime }+1,n^{\prime }+2,\dots \}$에 대하여, $\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}|a_n|<\frac{ϵ}{2(M+1)}$

따라서, 모든 $n\in \{2n^{\prime }+1,2n^{\prime }+2,\dots \}$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}|C_n-A_{n}B|& \le |a_0||B_n-B|+\cdots +|a_{n^{\prime }}||B_{n-n^{\prime }}-B|+|a_{n^{\prime }+1}||B_{n-n^{\prime }-1}-B|+\cdots +|a_n||B_0-B|\\ & \le \frac{ϵ}{2(A^{\prime }+1)}\sum _{k=0}^{n^{\prime }}|a_k|+M\sum _{k=n^{\prime }+1}^n|a_k|\\ & <ϵ\end{array}$

즉, $C_n$은 $AB$로 수렴하며, 정리의 결론이 성립한다. 틀:증명 끝

절대 수렴할 충분조건

임의의 두 절대 수렴 급수 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$, $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ 및 임의의 전단사 함수 $\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{N}\times \mathbb{N}$에 대하여, 급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{{\sigma }_1(n)}{b}_{{\sigma }_2(n)}$

는 절대 수렴하며,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{{\sigma }_1(n)}{b}_{{\sigma }_2(n)}=\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\right)\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\right)$

이다. 특히, 두 절대 수렴 급수의 코시 곱은 절대 수렴한다.

예

두 복소수 계수 멱급수 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-a{)}^n$ 및 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-a{)}^n$의 코시 곱

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(x-a{)}^n\sum _{k=0}^n{a}_{n-k}{b}_k$

은 통상적인 곱과 일치한다.

코시 곱이 발산하는 두 수렴급수

급수

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$

는 교대급수 판정법에 따라 수렴한다. 이 급수의 스스로와의 코시 곱

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$

을 생각하자. 임의의 $n\in \{2,3,4,\dots \}$에 대하여,

$c_n=(-1{)}^n\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{k(n-k)}}$

이므로

$\begin{array}{cc}|c_n|& =\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{k(n-k)}}\\ & \ge \sum _{k=1}^{n-1}\frac{2}{n}\\ & =\frac{2(n-1)}{n}\\ & \ge 1\end{array}$

이다. 따라서, 코시 곱은 발산한다.

역사

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름을 땄다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:플래닛매스