칼손의 부등식

틀:위키데이터 속성 추적 칼손의 부등식(Carlson's inequality, -不等式)은 스웨덴 수학자 프리츠 다비드 칼손(Fritz David Carlson)이 1934년 제출하여 그의 이름이 붙은 부등식이다. 여러 종류의 형식이 있는데, 대표적인 것은 코시-슈바르츠 부등식에서 순수하게 대수적으로 유도할 수 있는 합 형태와 $L_2$ 공간에서 실해석학의 기법으로 유도할 수 있는 적분 형태의 두 종류이다. 두 경우 모두 자주 쓰이는 형태는 유사한데, 이산 형태와 연속 형태로 불리기도 한다.

합 형태

합 형태 칼손의 부등식은 보통 다음과 같은 두 형태 중 하나로 사용된다.

1. 임의의 실수 $a_1,a_2,...,a_n$ 에 대하여, $(\sum _{i=1}^n{a}_i{)}^2<\frac{{\pi }^2}{6}(\sum _{i=1}^n{i}^2{a}_i^2).$
2. 임의의 실수 $a_1,a_2,...,a_n$ 에 대하여, $(\sum _{i=1}^n{a}_i{)}^4<{\pi }^2(\sum _{i=1}^n{a}_i^2)(\sum _{i=1}^n{i}^2{a}_i^2).$

증명

둘 모두 코시-슈바르츠 부등식에서 쉽게 유도가능하다. 위의 $a_i$ 및 임의 n개의 0이 아닌 실수 $c_1,c_2,...,c_n$ 에 대하여 코시-슈바르츠 부등식을 적용하면,

$(a_1+...+a_n{)}^2=(a_1\cdot c_1\cdot \frac{1}{c_1}+...+a_n\cdot c_n\cdot \frac{1}{c_n}{)}^2\le (a_1^2{c}_1^2+...+a_n^2{c}_n^2)(\frac{1}{c_1^2}+...+\frac{1}{c_n^2}).$

을 얻는다. 여기서 $C_n:=\frac{1}{c_1^2}+...+\frac{1}{c_n^2}$ 라 쓰면, 이는 다음과 같은 일반적인 부등식이 된다.

$(a_1+...+a_n{)}^2\le C_n(a_1^2{c}_1^2+...+a_n^2{c}_n^2).$

여기서 $c_i=i$ 라 할 경우, $C_n<\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$ 으로부터 첫 번째 부등식이 증명된다. 다음으로, 양수 t에 대해 $c_i^2=t+\frac{i^2}{t}$ 로 놓고 전개하면,

$C_n=\frac{t}{t^2+1^2}+\frac{t}{t^2+2^2}+...+\frac{t}{t^2+n^2}<\frac{\pi }{2}.$

이 된다. $P:=a_1^2+...+a_n^2,Q:=a_1^2+2^2{a}_2^2+...+n^2{a}_n^2$ 라 두고 $t=\sqrt{\frac{Q}{P}}$를 만족하도록 t를 잡으면, 다음과 같이 식을 전개할 수 있다.

$(a_1+...+a_n{)}^2\le C_n(a_1^2{c}_1^2+...+a_n^2{c}_n^2)<\frac{\pi }{2}(t(a_1^2+...+a_n^2)+\frac{1}{t}(a_1^2+2^2{a}_2^2+...+n^2{a}_n^2))=\frac{\pi }{2}(tP+\frac{1}{t}Q)=\pi \sqrt{PQ}.$

이제 양 변에 제곱을 취하면 두 번째 부등식을 얻는다.

적분 형태

적분 형태 칼손의 부등식도 위와 같은 두 가지 형태가 모두 가능하다. 두 번째 형태만 직접 서술해 보면 다음과 같다.

1. 만약 f가 실수값 함수이고 $f,xf\in L_2(0,\mathrm{\infty })$ 이면, $(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx{)}^4<{\pi }^2(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}^2(x)dx)(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{f}^2(x)dx).$

참고 문헌

• Arthur Engel (1997), Problem-Solving Strategies, Springer Verlag, 틀:ISBN

외부 링크

• 틀:언어링크 슈프링어 온라인 레퍼런스