칸토어 역설

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 칸토어 역설(틀:Llang)은 소박한 집합론의 역설의 하나이며, 모든 기수들의 모임이 집합을 이룰 수 없다는 것을 보인다.

정의

칸토어 역설은 다음과 같다. 기수들의 모임 $\mathrm{Card}$가 집합이라고 가정하자. 그렇다면, 모임

$\{\{\alpha \in \mathrm{Ord}:\alpha <\kappa \}:\kappa \in \mathrm{Card}\}$

역시 집합이다. 그 합집합의 크기를 나타내는 기수

$\kappa =|\{\alpha \in \mathrm{Ord}:\mathrm{\exists }\lambda \in \mathrm{Card}:\alpha <\lambda \}|$

를 생각하자. 그렇다면, 칸토어 정리에 따라

$2^{\kappa }>\kappa$

이다. 그러나

$\{\alpha \in \mathrm{Ord}:\alpha <2^{\kappa }\}⊊\{\alpha \in \mathrm{Ord}:\mathrm{\exists }\lambda \in \mathrm{Card}:\alpha <\lambda \}$

이므로,

$2^{\kappa }\le \kappa$

이다. 이는 기수의 전순서와 모순된다. 따라서, 기수의 모임 $\mathrm{Card}$는 고유 모임이다.

역사

게오르크 칸토어가 1890년대에 발견하였다.

같이 보기

• 부랄리포르티 역설
• 러셀의 역설

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드