칸토어-르베그 정리

틀:위키데이터 속성 추적 칸토어-르베그 정리(Cantor-Lebesgue theorem, -定理)는 조화해석학 및 실해석학의 정리로, 독일 수학자 게오르크 칸토어와 프랑스 수학자 앙리 르베그의 이름이 붙어 있다. 이 정리는 푸리에 급수의 수렴에 대한 필요조건을 제공한다.

공식화

E를 실수의 부분집합 [0, 2π)에 속하는 양측도의 가측 집합이라 하자. 만약 다음의 무한급수

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$

가 E의 모든 점 x에서 수렴한다면, 다음이 성립한다.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n$

증명

삼각 함수 항등식에 의해 사인 함수와 코사인 함수를 하나의 코사인 함수로 묶어서 다음과 같이 쓰자.

$a_n\cos nx+b_n\sin nx=c_n\cos (nx+d_n)$

여기서 $c_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$ 이므로, a_n나 b_n 둘 중 하나라도 무한대에서 0으로 수렴하지 않는다면 c_n는 0으로 수렴하지 않는다. 이를 가정하면, 무한급수의 수렴 필요조건에서 $c_n\cos (nx+d_n)$는 0으로 수렴해야 하므로, 적당한 수열 $n_1,n_2,...$ 에 대하여

$\cos (n_{k}x+d_{n_k})$

는 0으로 수렴하게 된다. 따라서 ${\cos }^2(n_{k}x+d_{n_k})$ 도 0으로 수렴한다. 이제 지배 수렴 정리를 이용하면,

$0=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{E}{\int }{\cos }^2(n_{k}x+d_{n_k})dx$

$=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{E}{\int }[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos (2n_{k}x+2d_{n_k})dx$

$=\underset{E}{\int }\frac{1}{2}dx=\frac{1}{2}\lambda (E)$

을 얻는다. 그런데 이는 E가 양측도라는 조건에 모순이다.

같이 보기

• 루진-당주아 정리

참고 문헌

• Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidian Space, Jones and Bartlett Mathematics, 2001.