측정 기하학

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 측정 기하학(測定幾何學, 틀:Llang)은 측정 형식(틀:Lang)이 주어진 매끄러운 다양체를 다루는 분야이다.

정의

$(M,g)$가 리만 다양체라고 하자. 그 부피 형식이 $\omega =\sqrt{\det g}{ϵ}^{\mu \nu \dots }/d!$라고 하자.$M$ 위의 측정 형식(測定形式, 틀:Llang)은 다음 두 조건을 만족하는 $M$ 위의 $p$차 미분 형식 $\varphi$이다.

• (닫힘) $d\varphi =0$
• (측정성) 임의의 $x\in M$에 대하여, 모든 유향 $p$차 선형 부분 공간 $V\in T_{x}M$에 대하여 $\varphi {|}_V=\lambda \omega {|}_V$이라고 하면 $\lambda \le 1$이다. 또한, $\lambda =1$인 $V$가 항상 존재한다.

측정 형식을 갖춘 리만 다양체를 측정 다양체(測定多樣體, 틀:Llang)라고 한다.

$p$차 측정 형식을 갖춘 리만 다양체 $(M,g,\varphi )$의 측정 부분 다양체(測定部分多樣體, 틀:Llang) $N\subset M$는 다음을 만족하는 $p$차원 부분다양체이다.

• 모든 $x\in N$에 대하여 $\varphi {|}_{T_{x}N}=\omega {|}_{T_{x}N}$이다.

예

• $M$이 켈러 다양체이고, $\omega$가 그 켈러 형식이라고 하자. 이 경우 ${\omega }^n/n!$은 측정 형식이고, 이에 대한 측정 부분다양체는 복소 부분다양체이다.
• $M$이 복소 $n$차원 칼라비-야우 다양체라고 하고, 정칙 $n$차 복소 미분 형식 $\mathrm{\Omega }$가 갖추어져 있다고 하자. 또한, $\mathrm{\Omega }\wedge \overline{\mathrm{\Omega }}$가 부피 형식과 같다고 하자. 이 경우 $\mathrm{Re}\mathrm{\Omega }$는 측정 형식이고, 그 부분다양체는 특수 라그랑주 부분 다양체이다.
• $G_2$ 홀로노미 다양체의 경우에는 3차 형식과 그 호지 쌍대 4차 형식이 측정 형식을 이룬다. 이에 대한 측정 부분다양체는 각각 결합 부분 다양체(結合部分多樣體, 틀:Llang)와 공결합 부분 다양체(共結合部分多樣體, 틀:Llang)라고 한다.
• Spin(7) 홀로노미 다양체의 경우 평행 4차 형식(케일리 형식 틀:Lang)이 존재한다. 이에 대한 측정 부분 다양체를 케일리 부분 다양체(Cayley部分多樣體, 틀:Llang)라고 한다.

참고 문헌

• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

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