초입자

틀:위키데이터 속성 추적 이론물리학에서 초입자(超粒子, 틀:Llang)는 초공간 속을 움직이는 입자이다.^[1]^[2]틀:Rp 초장의 한 양자를 나타내며, 그 힐베르트 공간은 그 초다중항에 속하는 입자들의 (1입자) 힐베르트 공간들의 직합이다.

정의

우선, 무질량 비초대칭 입자는 다음과 같이 묘사된다. 그 좌표가 $x^{m} \in ℝ^{D}$ 라고 하자. 그렇다면, 운동 방정식은

η^{a b} p_{a} p^{b} = 0

이다. 이에 따라서, 세계선 위의 라그랑지언

L = \int d t {\dot{x}}^{m} e_{m}^{a} (x) p_{a} - \frac{1}{2} λ η^{a b} p_{a} p_{b}

을 적을 수 있다. 여기서

$t \in ℝ$ 는 세계선의 임의의 좌표이며, 윗점은 $\partial / \partial t$ 를 뜻한다.
$η_{a b}$ 는 상수 계량 텐서이다.
$λ : ℝ \to ℝ^{+}$ 는 세계선의 1×1 필바인이며, 이는 세계선 미분 동형 사상 게이지 대칭의 게이지 장이다. 이는 또한 운동 방정식 $p^{2} = 0$ 의 라그랑주 승수이다.
$e_{m}^{a}$ 는 시공간의 필바인이다. 즉, $η_{a b} e_{m}^{a} e_{n}^{b} = g_{m n}$ 가 시공간의 계량 텐서이다.
$x^{m}$ 는 입자의 위치이며, $p_{a}$ 는 입자의 운동량이다. 이들은 독립된 장으로 취급한다.

이제, $(λ, x, p)$ 에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 각각 다음과 같다.

$λ$ : $p^{2} = 0$
$x$ : $(\partial / \partial t) e_{m}^{a} p_{a} = {\dot{x}}^{m} p_{a} \partial e_{m}^{a} / \partial x$
$p$ : ${\dot{x}}^{m} e_{m}^{a} (x) = λ η^{a b} p_{b}$

특히, $λ$ 의 값은 운동 방정식으로 결정되지 않으며, 이는 게이지 변환으로 사실 (예를 들어) $λ = 1$ 로 게이지 고정을 가할 수 있다. 이를 가하고, $p$ 의 운동 방정식을 사용하여 $p$ 를 $x$ 에 대한 표현

p_{a} = η_{a b} {\dot{x}}^{m} e_{m}^{b}

로 대체하면, 작용은 다음과 같다.

L = \int d t {\dot{x}}^{m} e_{m}^{a} η_{a b} e_{n}^{b} {\dot{x}}^{n} = \int d t g_{m n} {\dot{x}}^{m} {\dot{x}}^{n}

초입자는 초공간 속에서 움직이는 입자이다. 즉, 그 좌표는

x^{M} = (x^{m}, θ^{μ}) \in ℝ^{D | D^{'}}

의 꼴이며, 여기서 $m$ 은 실제 공간 벡터의 지수, $μ$ 는 어떤 스피너 지수를 뜻한다.

초입자의 운동은 다음과 같은 두 운동 방정식으로 결정된다.

η^{a b} p_{a} p_{b} = 0

p_{a} γ^{a} d = 0

여기서 $p_{A} = (p_{a}, d_{α})$ 는 각각 $x^{m}$ 과 $θ$ 에 대한 일반화 운동량이다. (첫째 식은 일반 입자에도 존재하지만, 둘째 식은 초입자 고유의 것이다.)

이제, 다음과 같은 라그랑지언을 생각하자.

L = \int d t ({\dot{x}}^{M} e_{M}^{A} - \frac{1}{2} λ η^{a b} p_{a} p_{b} - i λ^{'} (p_{a} γ^{a}) d = 0)

여기서

$t \in ℝ$ 는 세계선의 (임의의) 좌표이다. 이에 대한 미분은 윗점 $\partial A / \partial t = \dot{A}$ 로 표기된다.
$x : ℝ \to ℝ^{D | D^{'}}$ 는 초입자의, 초공간 속의 좌표이다.
$λ : ℝ \to ℝ$ , $λ^{'} : ℝ \to ℝ^{D^{'}}$ 는 두 운동 방정식에 대한 라그랑주 승수이다. $λ$ 는 스칼라이며, $λ^{'}$ 은 스피너이다. 이들은 또한 게이지 변환의 게이지 장을 이루며, 이에 따라 $λ = 1$ , $λ^{'} = 0$ 인 게이지를 고를 수 있다.

또한, 시공간 초필바인의 성분은 다음과 같다.

e_{M}^{A} (x, θ) = (\begin{matrix} e_{m}^{a} (x) & 0 \\ - i γ^{a} θ & δ_{μ}^{α} \end{matrix})

그렇다면, $λ$ , $λ^{'}$ 에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 각각

p^{2} = 0

p_{a} γ^{a} d = 0

이 되며, $p_{A}$ 에 대한 오일러-라그랑주 방정식은

({\dot{x}}^{m} e_{m}^{a} (x) - i \dot{θ} γ^{a} θ) = λ η^{a b} p_{b} + i λ^{'} γ^{a} d

{\dot{θ}}^{β} = i p_{a} λ'_{α} γ^{a α β}

이다. 이는 운동량 $p_{a}$ 와 초운동량 $d_{α}$ 를 초공간 좌표 $(x^{m}, θ^{μ})$ 로부터 결정한다.

만약 $λ = 1$ , $λ^{'} = 0$ 게이지를 사용할 경우,

p_{a} = {\dot{x}}^{m} e_{m a}

\dot{θ} = 0

가 된다.