중점연결정리

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서 중점연결정리(中點連結定理)는 삼각형 또는 사다리꼴에 관한 정리이다.

삼각형의 중점연결정리

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 변의 길이의 $\frac{1}{2}$이다.

파일:삼각형의 중점연결정리.jpg

증명

$\mathrm{△}$ABC와 $\mathrm{△}$ADE에서

$\frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}\mathrm{=}\frac{\overline{AE}}{\overline{AC}}\mathrm{=}\frac{1}{2}$

∠A는 공통

∴$\mathrm{△}$ABC $\sim \mathrm{△}$ADE (SAS 닮음)

∴∠ADE=∠ABC

즉, 틀:윗줄//틀:윗줄

또, $\frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}\mathrm{=}\frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}\mathrm{=}\frac{1}{2}$이므로

$\mathrm{\therefore }\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}\mathrm{=}\frac{1}{2}\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$

역

삼각형의 한 변의 중점을 지나서 다른 한 변에 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지난다.

사다리꼴에서의 중점연결정리

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}\mathrm{\parallel }\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}},\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}\mathrm{=}\overline{\mathrm{M}\mathrm{B}},\overline{\mathrm{D}\mathrm{N}}\mathrm{=}\overline{\mathrm{N}\mathrm{C}}$일 때
$\overline{\mathrm{M}\mathrm{N}}\mathrm{=}\frac{1}{2}\mathrm{(}\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}\mathrm{+}\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}\mathrm{)}$

파일:사다리꼴의 중점연결정리.jpg

증명

틀:윗줄과 틀:윗줄의 연장선의 교점을 E라 할 때

$\mathrm{△}$ADN와 $\mathrm{△}$ECN에서

틀:윗줄=틀:윗줄 (가정)

∠AND=∠ENC (맞꼭지각)

∠ADN=∠ECN (엇각)

∴$\mathrm{△}$ADN ≡$\mathrm{△}$ECN (ASA 합동)

∴ 틀:윗줄=틀:윗줄, 틀:윗줄=틀:윗줄

그러므로 $\mathrm{△}$ABE에서 중점연결정리에 의하여

$\begin{array}{cc}\overline{\mathrm{M}\mathrm{N}}& =\frac{1}{2}\overline{\mathrm{B}\mathrm{E}}\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{(}\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}\mathrm{+}\overline{\mathrm{C}\mathrm{E}}\mathrm{)}\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{(}\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}\mathrm{+}\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}\mathrm{)}\\ \end{array}$

$\mathrm{\therefore }\overline{\mathrm{M}\mathrm{N}}\mathrm{=}\frac{1}{2}\mathrm{(}\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}\mathrm{+}\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}\mathrm{)}$

같이 보기

• 삼각형
• 사다리꼴
• 닮음 (기하학)