중심 퍼텐셜 속 입자

틀:위키데이터 속성 추적 틀:접이식 사이드바 양자역학에서 중심 퍼텐셜 속 입자(틀:Lang)는 변수분리법으로 풀 수 있는 문제 유형이다. 수소 원자나 3차원 조화 진동자, 구형 무한 퍼텐셜 우물 등이 이 유형에 속한다.

정의

중심 퍼텐셜은 구면 대칭인 퍼텐셜 $V (r)$ 을 말한다. 즉, 해밀토니언은 다음과 같다.

H = - \frac{1}{2 m} \nabla^{2} + V (r)

.

여기서 $r$ 은 퍼텐셜 중심에서부터의 거리이고, $\nabla^{2}$ 는 라플라스 연산자, $m$ 은 입자의 질량이다.

문제가 구면 대칭이므로, 구면좌표계 $(r, θ, ϕ)$ 로의 변수분리법이 자연스러운 가설 풀이다. 즉, 다음과 같이 쓰자.

ψ (r) = R (r) Y (θ, ϕ)

.

여기서 $Y (θ, ϕ)$ 는 다음을 만족하여야 한다.

\nabla^{2} Y (θ, ϕ) =

(상수)

이러한 함수는 구면 조화 함수 $Y_{l}^{m} (θ, ϕ)$ 라고 하며, 다음을 만족한다.

\nabla^{2} Y_{l}^{m} = - l (l + 1) Y_{l}^{m} / r^{2}

.

여기서 $l$ 은 음이 아닌 정수이며, $m$ 은 $- l$ 과 $l$ 사이의 정수다. 따라서, $R (r)$ 은 다음을 만족한다.

- \frac{1}{2 m r^{2}} \frac{d}{d r} r^{2} \frac{d}{d r} R (r) + \frac{l (l + 1)}{2 m r^{2}} R (r) + V (r) = E R (r)

.

이를 $u (r) = r R (r)$ 로 쓰면 다음과 같다.

- \frac{1}{2 m r^{2}} \frac{d^{2}}{d r^{2}} u (r) + \frac{l (l + 1)}{2 m r^{2}} u (r) + V (r) = E u (r)

.

따라서 3차원 중심 퍼텐셜 문제는 유효 퍼텐셜

V_{eff} (r) = V (r) + \frac{l (l + 1)}{2 m r^{2}}

속에 갇힌 1차원 입자로 환원됨을 알 수 있다.