점과 직선 사이의 거리

틀:위키데이터 속성 추적 점과 직선 사이의 거리는 점에서 직선에 이를 수 있는 가장 가까운 거리를 의미한다. 점에서 직선에 수선의 발을 내릴 때, 그 점과 수선의 발을 이은 선분의 길이와도 같다.

공식

직선의 방정식

직선의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이 때 틀:Mvar, 틀:Mvar, 틀:Mvar는 모두 실수 상수이고 틀:Mvar와 틀:Mvar는 동시에 0이 될 수 없다. 이 직선에서 점 틀:Math까지의 거리는 다음과 같다.틀:Rp

$\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

이 때 점 틀:Math과 가장 가까운 직선상의 좌표, 즉 점에서 직선에 내린 수선의 발의 좌표는 다음과 같다.

$x=\frac{b(b{x}_0-a{y}_0)-ac}{a^2+b^2}\text{, }y=\frac{a(-b{x}_0+a{y}_0)-bc}{a^2+b^2}$

수직선과 수평선의 경우

위에서 틀:Mvar와 틀:Mvar가 동시에 0이 될 수 없다고 했는데, 이 경우 직선이 정의되지 않기 때문이다. 하지만 틀:Mvar나 틀:Mvar 둘 중 하나만 0이 될 수는 있다. 틀:Mvar가 0인 경우 직선의 방정식은 틀:Math이 되어 수평선의 형태를 띈다. 이 때 점 틀:Math로부터의 거리는 단순히 선분의 길이를 재면 되고, 그 결과 틀:Math로 나타난다. 이와 비슷하게 틀:Mvar만 0인 경우에는 직선이 수직선이 되어 점과 직선 사이의 거리는 틀:Math가 된다.

두 점을 지나는 직선에 대해

방정식이 아니라 두 점 틀:Math과 틀:Math를 지난다고 정의된 직선의 경우를 한 번 살펴보자. 이 경우 점 틀:Math과 직선 사이의 거리는 다음과 같다.

$\frac{|(x_2-x_1)(y_1-y_0)-(x_1-x_0)(y_2-y_1)|}{\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}}$

여기서 분모는 점 틀:Math와 틀:Math 사이의 거리를 나타낸다. 분자는 세 점 틀:Math, 틀:Math, 틀:Math가 이루는 삼각형의 넓이의 2배와도 같다. 밑변의 길이가 틀:Mvar, 높이가 틀:Mvar라고 할 때 삼각형의 넓이가 틀:Math인 것을 생각해보자. 이 때 점과 직선 사이의 거리는 이 식에서 틀:Mvar를 남기고 나머지를 이항한 틀:Math과 다름 없다.

증명

대수적 증명

이 증명은 틀:Mvar와 틀:Mvar가 모두 0이 아닌 값을 가질 때만 사용 가능하다.

틀:Math이 나타내는 직선의 기울기는 틀:Math이므로, 그 직선에 수직한 직선의 기울기는 틀:Math이다. 이 때 점 틀:Math을 지나고 기울기가 틀:Math인 직선이 틀:Math와 만나는 교점을 틀:Math이라 해보자. 그러면 기울기의 정의에 의해 다음의 식이 성립한다.

$\frac{y_0-n}{x_0-m}=\frac{b}{a}$

따라서 $a(y_0-n)-b(x_0-m)=0$이고, 양변을 제곱하면 다음의 식을 얻을 수 있다.

$a^2(y_0-n{)}^2+b^2(x_0-m{)}^2=2ab(y_0-n)(x_0-m)$

이제 다음을 생각해보자.

$\begin{array}{cc}(a(x_0-m)+b(y_0-n){)}^2& =a^2(x_0-m{)}^2+2ab(y_0-n)(x_0-m)+b^2(y_0-n{)}^2\\ & =(a^2+b^2)((x_0-m{)}^2+(y_0-n{)}^2)\end{array}$

여기에 틀:Math이 틀:Math 위의 점이기 때문에 다음의 식도 성립한다.

$(a(x_0-m)+b(y_0-n){)}^2=(a{x}_0+b{y}_0-am-bn{)}^2=(a{x}_0+b{y}_0+c{)}^2$

즉 이 둘을 연립하면 아래의 식이 나온다.

$(a^2+b^2)((x_0-m{)}^2+(y_0-n{)}^2)=(a{x}_0+b{y}_0+c{)}^2$

유클리드 거리의 정의에 의해 틀:Math과 틀:Math의 거리는 다음과 같이 유도된다.

$d=\sqrt{(x_0-m{)}^2+(y_0-n{)}^2}=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

기하학적 증명

기하학적 증명의 참고그림

이 증명은 틀:Mvar와 틀:Mvar가 모두 0이 아닌 값을 가질 때만 사용 가능하다.

점 틀:Math에서 직선 틀:Math에 내린 수선의 발을 틀:수학이라 하자. 또 틀:수학에서 y축에 평행한 직선을 내려 직선과 만나는 교점을 틀:수학라 하자. 직선에서 임의의 점 틀:수학를 잡아 우측 그림과 같이 직각삼각형 틀:수학를 만들자. 이 때 직선의 기울기는 틀:수학로 쓸 수 있다.

틀:수학와 틀:수학는 틀:수학인고로 세 내각이 모두 같아 서로 닮음이다. 이에 따라 다음의 공식이 성립한다.

$\frac{|\overline{PR}|}{|\overline{PS}|}=\frac{|\overline{TV}|}{|\overline{TU}|}$

점 틀:수학의 좌표를 틀:수학라 할 때 선분 틀:수학의 길이를 고려하면 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$|\overline{PR}|=\frac{|y_0-m||B|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

이 때 틀:수학가 놓여있는 직선의 방정식을 알기 때문에 틀:수학 변수은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$m=\frac{-A{x}_0-C}{B}$

따라서 최종적으로 다음의 식을 얻는다.

$|\overline{PR}|=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

벡터의 사영을 사용한 증명

벡터의 사영을 이용한 증명의 참고 그림

점 틀:Math와 직선 틀:Math 사이의 거리를 구하고 싶다고 해보자. 이 때 직선에서 임의의 점 틀:Math을 잡고 이를 출발점으로 직선에 수직한 벡터 틀:수학을 잡는다. 점 틀:수학와 직선 사이의 거리는 $\overrightarrow{QP}$를 틀:수학에 정사영한 길이와 같다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

$d=\frac{|\overrightarrow{QP}\cdot 𝐧|}{\Vert 𝐧\Vert }$

$\overrightarrow{QP}=(x_0-x_1,y_0-y_1)$이므로 $\overrightarrow{QP}\cdot 𝐧=a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1)$이다. $\Vert 𝐧\Vert =\sqrt{a^2+b^2}$이므로 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

$d=\frac{|a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1)|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

이 때 틀:Math가 놓인 직선의 방정식을 알기 때문에 식은 최종적으로 다음과 같다.

$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

같이 보기

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참고 문헌

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읽을 거리

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