전집합

틀:위키데이터 속성 추적 틀:구별2 함수해석학에서 전집합(全集合, 틀:Llang)은 모든 벡터들을 선형 생성을 통하여 근사할 수 있는, 위상 벡터 공간의 부분 집합이다.

정의

위상체 $K$에 대한 위상 벡터 공간 $V$의 부분 집합 $S\subseteq V$가 다음 조건을 만족시키면, $V$의 전집합이라고 한다.

• 선형 생성 $\mathrm{Span}(S)\subseteq V$가 조밀 집합이다. 즉, 임의의 $v\in V$ 및 영벡터의 근방 $U\ni 0$에 대하여, $a_1{s}_1+\cdots +a_n{s}_n\in v+U$인 유한 개의 벡터 $s_1,\dots ,s_n\in S$ 및 스칼라 $a_1,\dots ,a_n\in K$가 존재한다.

예

모든 흡수 집합은 전집합이다. 특히, 영벡터의 근방은 항상 전집합이다.틀:Rp

복소수 바나흐 공간 $V=𝒞([0,1];ℂ)$에서,

$S=\{x\mapsto x^n:n\in \mathbb{N}\}$

는 전집합이다 (스톤-바이어슈트라스 정리).틀:Rp

마찬가지로, 복소수 바나흐 공간 $V=\{f\in 𝒞([0,1];ℂ):f(0)=f(1)\}$에서,

$S=\{x\mapsto \exp (2n\pi ix):n\in \mathbb{Z}\}$

는 전집합이다.틀:Rp