자연로그의 밑의 원주율 제곱

틀:위키데이터 속성 추적 자연로그의 밑 $e$의 원주율 $\pi$ 제곱 $e^{\pi }$은 23과 24 사이의 실수이며, 겔폰트-슈나이더 정리를 사용하여 초월수임을 보일 수 있다.

값

$e^{\pi }$의 값은 다음과 같다 틀:OEIS.

$e^{\pi }=23.140692632779\cdots$

성질

초월성

오일러 항등식에 따라,

$e^{\pi }=(e^{i\pi }{)}^{-i}=(-1{)}^{-i}$

이다. $-i$가 대수적 수이며, 실수가 아니므로 유리수가 아니다. 겔폰트-슈나이더 정리에 의하여, $e^{\pi }$는 초월수이다.

연분수 표현

$e^{\pi }$는 다음과 같은 연분수 전개를 갖는다 틀:OEIS.

$e^{\pi }=23+\frac{1}{7+\frac{1}{9+\frac{1}{3+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{591+\frac{1}{2+\frac{1}{9+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{34+\ddots }}}}}}}}}}}$

극한 공식

$e^{\pi }$는 다음과 같은 극한을 통해 빠르게 근사할 수 있다.틀:Rp

$e^{\pi }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(k_n/4{)}^{-1/2^{n-1}}$

여기서

$k_0=1/\sqrt{2}$

$k_{n+1}=\frac{1-\sqrt{1-k_n^2}}{1+\sqrt{1-k_n^2}}$

같이 보기

• 초월수
• 오일러 항등식
• 겔폰트-슈나이더 상수

외부 링크

• 틀:매스월드