일차원 격자 속의 입자

양자역학에서 일차원 격자 속의 입자(Particle in a one-dimensional lattice) 문제는 주기성을 가진 결정 격자(crystal lattice)에서 입자의 파동함수를 모델링하면서 등장한다. 이 주기적 퍼텐셜은 결정 내에 주기적으로 존재하는 이온에 의해 생겨나는 전자기장에 의한 것이다. 결정 내의 전자들의 파동함수는 이 주기를 가진 퍼텐셜에 의해 결정된다. 이는 자유전자 모델을 확장하여 풀어낼 수 있다.

크로니-페니 모델

1931년 랄프 크로니(Ralph Kronig)와 윌리엄 페니(William Penney>)에 의해서 명명된 크로니-페니 모델은 유한한 주기적인 전위장벽들로 구성된 단순하고 이상적인 양자역학적 시스템이다.

이 모델의 결과로 주기 격자(periodic lattice)에서 전자의 양자역학적 운동의 중요한 요소들을 알 수 있다. 대표적으로, 원자가 결정화(crystallization)가 잘 되어 주기적으로 배열되어 있으면 퍼텐셜(potential)이 주기적인 모양이 된다. 슈뢰딩거 파동방정식과 경계조건을 적용하여 얻은 해로부터 에너지 허용 영역과 금지영역이 생김을 알 수 있다.

1차원 격자 속 입자 모델을 단순화한 전위 함수는 아래와 같다.

일차원 격자 속의 입자는 1차원 주기적 전위 함수, 크로니-페니 모델로 나타낼 수 있다.

경계조건

1. 위치에너지(전위)는 $V(x)=V_0$이며 전위장벽(potential wall)의 폭은 $b$이고 격자상수(lattice constant)는 $a+b$이다.
2. 전위장벽의 전위는 입자의 에너지보다 크다. $V_0>E$

유도

1차원 슈뢰딩거 파동방정식의 해는 다음과 같다.

$\mathrm{\Psi }(x,t)=\psi (x)\times \varphi (t)=u(x)\exp (j(kx-wt))$이고 $j^2=-1,w=\frac{E}{\hslash }$이다.

1차원 시간독립 파동방정식

$\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}+\frac{2m}{{\hslash }^2}\cdot (E-V(x))\psi (x)=0$으로부터, 두 번째 경계조건, $V_0>E$이므로 다시 쓰면 아래와 같다.

$\frac{-{\hslash }^2}{2m}\cdot \frac{d^2\psi }{d{x}^2}+(V(x)-E)\psi =0$로 나타낼 수 있다.

퍼텐셜

전위 장벽 사이 공간(0<x<a)을 '영역 1', 전위 장벽 내부(-b<x<0)를 '영역 2'로 한다면 퍼텐셜은 아래와 같이 주어진다.

$V(x)=\{\begin{array}{c}0(0<x<a)\\ V_0(-b<x<0)\end{array}$

위의 퍼텐셜 조건을 1차원 시간 독립 파동방정식에 경계조건을 대입하면 다음과 같다.

$\{\begin{array}{c}-\frac{\hslash }{2m}\cdot \frac{d^2{\psi }_1}{d{x}^2}-E{\psi }_1=0(0<x<a)[1]\\ -\frac{\hslash }{2m}\cdot \frac{d^2{\psi }_2}{d{x}^2}+(V_0-E){\psi }_2=0(-b<x<0)[2]\end{array}$

블로흐 파

크로니-페니 모델 전위함수는 주기적이다. 이 함수의 해 $\psi (x)=e^{jkx}\cdot u(x)[3]$에서 파동의 형성에는 $e^{jkx}$함수가, 주기성에는 $u(x)$가 관여한다.

블로흐 파에 따라 $u(x)=u(x+d)$로 나타낼 수 있고 격자상수 $d$는 $a+b$이다.

전개

먼저, 영역 1에 대하여 식$[3]$을 식$[1]$에 대입하면,

$\frac{d^2}{d{x}^2}(e^{jkx}{u}_1(x))+\frac{2mE}{{\hslash }^2}{e}^{jkx}{u}_1(x)=0$이고 전미분하여 전개하면,

$\frac{d}{dx}\{jk{e}^{jkx}{u}_1(x)+e^{jkx}\frac{d{u}_1(x)}{dx}\}+\frac{2mE}{{\hslash }^2}{e}^{jkx}{u}_1(x)=0$다시 한번 전미분하여 전개하면,

$j^2{k}^2{e}^{jkx}{u}_1(x)+jk{e}^{jkx}\frac{d{u}_1(x)}{dx}+jk{e}^{jkx}\frac{d{u}_1(x)}{dx}+e^{jkx}\frac{d^2{u}_1(x)}{d{x}^2}+\frac{2mE}{{\hslash }^2}{e}^{jkx}{u}_1(x)=0$이 된다.

$j^2=-1$이고 $e^{jkx}$소거하여 정리하면 아래 식으로 표현 할 수 있다.

$\frac{d^2{u}_1(x)}{d{x}^2}+2jk\frac{d{u}_1(x)}{dx}+(\frac{2mE}{{\hslash }^2}-k^2)u_1(x)=0[4]$

또, 영역 2에 대하여 식$[3]$을 식$[2]$에 대입하여 정리하면

$\frac{d^2{u}_2(x)}{d{x}^2}+2jk\frac{d{u}_2(x)}{dx}+(\frac{2m(V_0-E)}{{\hslash }^2}-k^2)u_2(x)=0[5]$로 정리할 수 있다.

해

식$[4]$와 식$[5]$의 해를 구하면 아래와 같다.

$u_1(x)=A{e}^{j(\alpha -k)x}+B{e}^{-j(\alpha +k)x}(0<x<a)$

$u_2(x)=C{e}^{j(\beta -k)x}+D{e}^{-j(\beta +k)x}(-b<x<0)$

여기서 ${\alpha }^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}$이고 ${\beta }^2=\frac{2m(V_0-E)}{{\hslash }^2}$이다.

계수 $A,B,C,D$는 경계조건을 도입하여 관계식을 만들 수 있다.

1. $u_1(0)=u_2(0)⟹A+B-C-D=0$
2. $\frac{d{u}_1(0)}{dx}=\frac{d{u}_2(0)}{dx}⟹(\alpha -k)A-(\alpha +k)B-(\beta -k)C+(\beta +k)D=0$
3. $u_1(a)=u_2(a)=u_2(-b)$
4. $\frac{d{u}_1(a)}{dx}=\frac{d{u}_2(a)}{dx}⟹(\alpha -k)A{e}^{j(\alpha -k)a}+(\alpha +k)B{e}^{-j(\alpha +k)a}-(\beta -k)C{e}^{j(\beta -k)b}+(\beta +k)D{e}^{(\beta +k)b}=0$

행렬식으로 표현하면 다음과 같다.

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& -1\\ (\alpha -k)& -(\alpha +k)& -(\beta -k)& (\beta +k)\\ e^{j(\alpha -k)a}& e^{-j(\alpha +k)a}& -e^{-j(\beta -k)b}& -e^{j(\beta +k)b}\\ (\alpha -k)e^{i(\alpha -k)a}& -(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)a}& -(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}& (\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}A\\ B\\ C\\ D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

위의 행렬의 행렬식이 0이 될 때, 해를 얻을 수 있다.

풀이

행렬식이 0이 되는 조건으로부터 크로니-페니 모델의 최종식은 아래와 같다.

$f(\alpha a)=P^{\prime }\frac{sin\alpha a}{\alpha a}+cos\alpha a=coska$$P^{\prime }=\frac{m{V}_{0}ba}{{\hslash }^2}$

위의 식은 단결정 격자에 갇혀있는 입자의 에너지와 k의 관계에 관한 식이다. 위 식에서 P'가 증가하면 입자는 전위우물 즉, 원자에 더욱 강하게 결합됨을 의미한다. P는 아래와 같이 나타내며 퍼텐셜 장벽의 크기에 대응한다.

$P=V_{0}b$

해석

입자들이 결정화가 잘 되어서 원자가 주기적으로 배열되어있다면 퍼텐셜은 주기적인 모양이 되고 에너지의 허용영역과 금지영역이 생긴다. 이들은 각각 에너지밴드와 밴드갭으로 불린다.

같이 보기

• 상자 속 입자
• 양자 조화 진동자
• 퍼텐셜 우물
• 슈뢰딩거 방정식