일반화 복소다양체

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 일반화 복소다양체(一般化複素多樣體, 틀:Llang)는 복소다양체와 심플렉틱 다양체의 공통적인 일반화이다. 물리학적으로, 캘브-라몽 장 $B$가 존재하는 IIB 초끈 이론 축소화를 나타낸다.

정의

$n$차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 일반화 개복소구조(一般化槪複素構造, 틀:Llang)는 실수 벡터 다발 $TM\oplus T^{*}M$ 위의 개복소구조이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 다발 사상 $J:\mathrm{T}M\oplus {\mathrm{T}}^{*}M\to \mathrm{T}M\oplus {\mathrm{T}}^{*}M$이다.

• $J^2=-\mathrm{id}$
• $⟨J(X+\xi ),J(Y+\eta )⟩=⟨X,\eta ⟩+⟨Y,\xi ⟩$

여기서 $⟨,⟩$는 부호수 $(n,n)$의 자연스러운 내적 사상이다. 일반화 개복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 일반화 개복소다양체(一般化槪複素多樣體, 틀:Llang)라고 한다.

일반화 개복소다양체 위의 일반화 정칙접다발(틀:Llang)은 다음과 같은 복소수 벡터 다발이다.

$E=\{X+\xi \in \mathrm{\Gamma }((\mathrm{T}M\oplus {\mathrm{T}}^{*}M)\otimes ℂ):J(X+\xi )=\mathrm{i}(X+\xi )\}$

이에 따라

$(\mathrm{T}M\oplus {\mathrm{T}}^{*}M)\otimes C\cong E\oplus \overline{E}$

가 된다.

$\mathrm{T}M\oplus {\mathrm{T}}^{*}M$의 두 매끄러운 단면 $X+\xi$, $Y+\eta$에 대하여, 다음과 같이 쿠란트 괄호(Courant括弧, 틀:Llang)를 정의하자.

$[X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+{ℒ}_X\eta -{ℒ}_Y\xi -\frac{1}{2}d(⟨X,\eta ⟩-⟨Y,\xi ⟩)$

여기서 ${ℒ}_X$는 리 미분이며, $d$는 외미분이다.

일반화 개복소구조 가운데, $E$의 매끄러운 단면들이 쿠란트 괄호에 대하여 닫혀 있는 것들을 일반화 복소구조(一般化複素構造, 틀:Llang)라고 하며, 일반화 복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 일반화 복소다양체(一般化複素多樣體, 틀:Llang)라고 한다.

순수 스피너

틀:본문 $n$차원 실수 벡터 공간 $V$가 주어졌을 때, $V\oplus V^{*}$ 위에는 자연스러운 $\mathrm{SO}(n,n)$ 구조가 존재한다. 이 경우, 리 대수의 작용은

$𝔰𝔬(V\oplus V^{*})\cong 𝔤𝔩(V;ℝ)\oplus {\bigwedge }^2{V}^{*}\oplus {\bigwedge }^{2}V$

이다.

$V\oplus V^{*}$는 외대수 ${\bigwedge }^{\bullet }{V}^{*}$ 위에 다음과 같은 작용을 갖는다.

$(X+\eta )\cdot \varphi =\iota (X)\varphi +\xi \wedge \varphi$

이 경우

$(X+\eta )\cdot ((X+\eta )\cdot \varphi )=⟨X,\eta ⟩\varphi$

이며, 이는 디랙 행렬과 같은 형태이다. 이를 사용하여, $V\oplus V^{*}$의 디랙 스피너 공간을 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.

$\mathrm{\Delta }(V\oplus V^{*})\cong \sqrt{{\bigwedge }^{n}V}\otimes {\bigwedge }^{\bullet }{V}^{*}$

이는 짝수 차원 디랙 스피너 공간이며, 이는 바일 스피너 공간의 직합으로 나타낼 수 있다.

$\mathrm{\Delta }(V\oplus V^{*})={\mathrm{\Delta }}^{+}(V\oplus V^{*})\oplus {\mathrm{\Delta }}^{-}(V\oplus V^{*})$

${\mathrm{\Delta }}^{+}(V\oplus V^{*})\cong \sqrt{{\bigwedge }^{n}V}\otimes {\bigwedge }^{2\bullet }{V}^{*}$

${\mathrm{\Delta }}^{-}(V\oplus V^{*})\cong \sqrt{{\bigwedge }^{n}V}\otimes {\bigwedge }^{2\bullet +1}{V}^{*}$

스피너 $\varphi \in {\mathrm{\Delta }}^{\pm }(V\oplus V^{*})$ 가운데,

$\dim \ker (\cdot \varphi )=\dim \{X+\eta \in V\oplus V^{*}:(X+\eta )\cdot \varphi =0\}=n$

인 것을 $V\oplus V^{*}$의 순수 스피너(純粹spinor, 틀:Llang)라고 한다.

이 모든 정의들은 벡터 공간 대신, 매끄러운 다양체 위의 벡터 다발에 대하여 정의할 수 있다.

일반화 칼라비-야우 다양체

매끄러운 다양체 $M$의 일반화 접다발 $\mathrm{T}M\oplus {\mathrm{T}}^{*}M$이 자명한 순수 스피너 복소수 선다발을 갖는다면, $(M,E)$를 일반화 칼라비-야우 다양체라고 한다. 즉,

$\varphi \in {\mathrm{\Omega }}^{\pm }M\otimes ℂ$

가 $\mathrm{T}M\oplus {\mathrm{T}}^{*}M$의 순수 스피너이며, $d\varphi =0$이며, 또한 모든 곳에서 $⟨\varphi ,\overline{\varphi }⟩\ne 0$이라면 $M$은 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

일반화 칼라비-야우 다양체 $(M,\varphi )$가 주어졌을 때, $\ker (\cdot \varphi )\subset (\mathrm{T}M\oplus {\mathrm{T}}^{*}M)\otimes ℂ$은 $M$위의 일반화 복소구조를 정의한다. 즉, 모든 일반화 칼라비-야우 다양체는 일반화 복소다양체를 이룬다.

예

복소다양체

모든 복소다양체는 자명하게 일반화 복소다양체를 이루며, 모든 칼라비-야우 다양체는 자명하게 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 복소수 $k$차원 복소다양체 $M$의 경우, $E$는 정칙 벡터장 및 $(1,0)$-복소수 미분 형식들의 다발의 직합이다.

$E={\mathrm{T}}^{+}M\oplus {\mathrm{\Omega }}^{1,0}M$

이 경우, 순수 스피너는 $(k,0)$-복소수 미분 형식이며, 칼라비-야우 다양체의 경우 정칙 부피 형식 $\mathrm{\Omega }\in \mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Omega }}^{k,0}M)$이 존재하므로 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

심플렉틱 다양체

모든 심플렉틱 다양체 역시 일반화 복소다양체를 이루며, 또한 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. $2k$차원 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$가 주어졌을 때, 순수 스피너는 다음과 같은 꼴의 복소수 미분 형식이다.

$\exp (\mathrm{i}\omega )f(f\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,ℂ))$

순수 스피너의 다발은 항상 자명하므로, 이는 항상 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룸을 알 수 있다. 이 경우, 일반화 정칙 접다발은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성된다.

$X-\mathrm{i}\omega (X,-)(X\in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}M))$

역사

나이절 히친이 2002년에 거울 대칭을 다루기 위하여 도입하였다. 이후 히친의 박사 과정 학생인 마르코 괄티에리(틀:Llang)가 박사 학위 논문에서 이를 체계적으로 연구하였다.

각주

• 틀:저널 인용
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외부 링크

• 틀:Nlab
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