유니모듈러 격자

정의

격자(틀:Llang) $(L, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

유니모듈러 격자는 다음 조건을 만족시키는 격자 $(L, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ 이다.

$L$ 이 $n$ 차원이라고 하자. $L$ 의 기저 ${v_{1}, \dots, v_{n}}$ 을 잡았을 때, $n \times n$ 대칭 정수행렬 $M \in {Mat}_{n} (ℤ)$ 을 $(M)_{i j} = ⟨ v_{i}, v_{j} ⟩$ 로 정의하자. 그렇다면 $\det M = \pm 1$ 이다. (행렬 $M$ 은 기저의 선택에 따라 달라지지만, 그 행렬식은 바뀌지 않는다.)

짝 유니모듈러 격자(틀:Llang)는 모든 $v \in L$ 에 대하여 $⟨ v, v ⟩$ 이 짝수인 격자다. 짝 유니모듈러 격자가 아닌 유니모듈러 격자를 홀 유니모듈러 격자(틀:Llang)라고 한다.

유니모듈러 격자는 정부호(definite)와 부정부호(indefinite) 두 종류가 있다. 부호수가 $(m, n)$ 인 부정부호 격자 $Λ \subset ℝ^{m, n}$ 의 경우, (동형을 무시하면) 오직 하나의 홀 유니모듈러 격자

I_{m, n}

가 존재한다. 구체적으로 이는 $ℤ^{m + n} \subset ℝ^{m + n}$ 에 의해 주어진다. 부정부호수에서 짝 유니모듈러 격자가 존재할 필요충분조건은

m \equiv n (\mod 8)

이며, 이 경우 (동형을 무시하면) 오직 하나의 짝 유니모듈러 격자

I I_{m, n}

가 존재한다. 이는 구체적으로

{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m + n} : 2 a_{i} \in ℤ, \sum_{k} a_{k} / 2 \in ℤ} \subset ℝ^{m + n}

이다. 또한, $I I_{8, 0}$ 은 E₈ 격자와 동형이다.

정부호 유니모듈러 격자는 분류하기가 더 어렵다.

7차원 이하의 경우 유일한 홀 정부호 유니모듈러 격자 $I_{n, 0}$ 가 존재한다. 짝 유니모듈러 격자는 존재하지 않는다.
짝 유니모듈러 격자가 존재하는 최소 차원은 8차원이다. 이 차원에서는 E₈ 격자가 존재하며, 이는 E₈ 리 군의 근계로 생성된다.
8차원 다음으로 짝 유니모듈러 격자가 존재하는 차원은 16차원이며, 이 차원에서는 두 개의 짝 유니모듈러 격자가 존재한다. 이는 $E_{8} \oplus E_{8}$ 과
24차원에서는 총 24개의 짝 유니모듈러 격자가 존재하며, 이들을 니마이어 격자(틀:Llang)라고 한다. 이 가운데 근이 없는 격자는 리치 격자(틀:Llang) 하나밖에 없다.

차원이 26 미만인 정부호 유니모듈러 격자는 모두 분류되었고, 다음과 같다. 홀 유니모듈러 격자의 수는 틀:OEIS, 짝 유니모듈러 격자의 수는 틀:OEIS이다.

차원	홀격자	근이 없는 홀격자	짝격자	근이 없는 짝격자
0	0	0	1	1
1	1	0
2	1	0
3	1	0
4	1	0
5	1	0
6	1	0
7	1	0
8	1	0	1 (E₈ 격자)	0
9	2	0
10	2	0
11	2	0
12	3	0
13	3	0
14	4	0
15	5	0
16	6	0	2 (E₈², D₁₆⁺)	0
17	9	0
18	13	0
19	16	0
20	28	0
21	40	0
22	68	0
23	117	1 (짧은 리치 격자)
24	273	1 (홀 리치 격자)	24 (니마이어 격자)	1 (리치 격자)
25	665	0
26	≥2307	1
27	≥14179	3
28	≥327972	38
29	≥37938009	≥8900
30	≥20169641025	≥82000000
31	≥5000000000000	≥800000000000
32	≥80000000000000000	≥10000000000000000	≥1160000000	≥10900000