위그너-에카르트 정리

틀:위키데이터 속성 추적 틀:접이식 사이드바 양자역학에서 위그너-에카르트 정리(틀:Lang)는 텐서 연산자의 행렬 원소에 대한 정리다. 구면 텐서 연산자의 각운동량 고유상태에 대한 기댓값은 각운동량의 전체 크기에만 의존하고, 특정 방향에 의존하지 않는다는 것이다.

유진 위그너와 칼 에카트(틀:Llang)가 증명하였다.

전개

3차원 회전군 SO(3)는 (국소적으로) 특수 유니터리 군 SU(2)와 같다. SU(2)의 기약 표현(틀:Lang)은 0, $\frac{1}{2}$, 1, $\frac{3}{2}$,등이 있다. (전체 각운동량을 굵은 글씨로 나타낸다.)

기약 표현 $𝐤$는 $2k+1$개의 성분을 가진다. 임의의 텐서 표현 $\mathrm{𝟏}\otimes \cdots \otimes \mathrm{𝟏}$은 이런 기약 표현의 합으로 나타낼 수 있다. 이 때, 텐서 표현의 기약 분해는 오직 $k$가 정수인 표현 $𝐤$만을 포함하고, $k$가 반정수인 스피너 표현 ($\frac{1}{2}$, $\frac{3}{2}$ 등)을 포함하지 않는다.

SU(2) 표현 $𝐣$를 따라 변환하는 값을 $j$차 구면 텐서(틀:Lang)라고 하고, 이러한 표현을 따라 변환하는 연산자를 $j$차 구면 텐서 연산자(틀:Lang)라고 한다.

$k$차 구면 연산자 $T_q^{(k)}$ ($q=-k,-k+1,\dots ,k$)를 생각하자. 이 구면 연산자의 행렬 성분을, 각운동량 고유 기저 $|j,m⟩$ (즉, ${𝐋}^2|j,m⟩=j(j+1)|j,m⟩$, $L_3|j,m⟩=m|j,m⟩$을 만족하는 기저)에서 계산하자. 그렇다면 행렬 성분들은 다음과 같은 꼴을 취한다.

$⟨j,m|T_q^{(k)}|j^{\prime },m^{\prime }⟩=T(k,j,j^{\prime })(⟨j^{\prime },m^{\prime }|\otimes ⟨k,q|)|j,m⟩$.

여기서 $T(k,j,j^{\prime })$는 $k$와 $j$, $j^{\prime }$에만 의존하는 값이고, $(⟨j^{\prime },m^{\prime }|\otimes ⟨k,q|)|j,m⟩$은 클렙슈-고르단 계수다. 이 식을 위그너-에카르트 정리라고 한다.

낮은 차수에서의 위그너-에카르트 정리

흔히 다루는 텐서 연산자는 $k=0$인 스칼라 연산자나 $k=1$인 벡터 연산자다. 스칼라 연산자의 경우에는 위그너-에카르트 정리는 단순히

$⟨j,m|T|j^{\prime },m^{\prime }⟩=T(j,j^{\prime }){\delta }_{j{j}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}$

이다. (여기서 $\delta$는 물론 크로네커 델타다.) 벡터 연산자의 경우에는 위그너-에카르트 정리는 다음과 같다.

$⟨j,m|T_q|j^{\prime },m^{\prime }⟩=T(j,j^{\prime })(⟨j^{\prime },m^{\prime }\otimes ⟨1,q|)|j,m⟩$

이다. 이 클렙슈-고르단 계수는 다음과 같다.

$\begin{array}{cc}⟨j_1,m;1,0|j_1+1,m⟩& =\sqrt{\frac{(j_1-m+1)(j_1+m+1)}{(2j_1+1)(j_1+1)}},\\ ⟨j_1,m;1,0|j_1,m⟩& =\frac{m}{\sqrt{j_1(j_1+1)}},\\ ⟨j_1,m;1,0|j_1-1,m⟩& =-\sqrt{\frac{(j_1-m)(j_1+m)}{j_1(2j_1+1)}}.\end{array}$

(나머지 계수는 모두 0이다.)

구면 1-텐서로서의 성분 $T_q$는 벡터로서의 성분 $T_i$ ($i=x,y,z$)으로부터 다음과 같이 얻을 수 있다.

$T_{\pm }=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mp T_x+i{T}_y)$

$T_0=T_z$.

같이 보기

• 랑데 지 인자

각주

• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

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