월리스 공식

틀:위키데이터 속성 추적 월리스 공식(틀:Lang)은 원주율을 구하는 간단한 공식으로, 존 월리스에 의해 만들어졌다.

적분에 의한 증명

정수 $n$에 대하여 다음과 같이 놓자.

$I(n)=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{n}xdx$

그러면 부분 적분에 의하여 다음을 얻는다.

$\begin{array}{cc}I(n)& =\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{n}xdx\\ & =-{\sin }^{n-1}x\cos x{|}_0^{\pi }-\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(-\cos x)(n-1){\sin }^{n-2}x\cos xdx\\ & =0+(n-1)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\cos }^{2}x{\sin }^{n-2}xdx,n>1\\ & =(n-1)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(1-{\sin }^{2}x){\sin }^{n-2}xdx\\ & =(n-1)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{n-2}xdx-(n-1)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{n}xdx\\ & =(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)\\ & =\frac{n-1}{n}I(n-2)\\ \Rightarrow \frac{I(n)}{I(n-2)}& =\frac{n-1}{n}\\ \end{array}$

이제 $2n$과 $2n+1$에 대하여 다음 점화식이 성립한다.

$I(2n)=\frac{2n-1}{2n}I(2n-2),$

$I(2n+1)=\frac{2n}{2n+1}I(2n-1).$

이때 $I(0)$과 $I(1)$은 다음과 같다.

$\begin{array}{cc}I(0)& =\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}dx=x{|}_0^{\pi }=\pi ,\\ I(1)& =\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin xdx=-\cos x{|}_0^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2.\end{array}$

$I(2n)$에 대하여 점화식을 활용하면

$I(2n)=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{2n}xdx=\frac{2n-1}{2n}I(2n-2)=\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n-3}{2n-2}I(2n-4)$

을 얻고, 마찬가지로 하면 $I(2n+1)$에 대하여

$=\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n-3}{2n-2}\cdot \frac{2n-5}{2n-4}\cdot \cdots \cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}I(0)=\pi \prod _{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}$

$I(2n+1)=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{2n+1}xdx=\frac{2n}{2n+1}I(2n-1)=\frac{2n}{2n+1}\cdot \frac{2n-2}{2n-1}I(2n-3)$

$=\frac{2n}{2n+1}\cdot \frac{2n-2}{2n-1}\cdot \frac{2n-4}{2n-3}\cdot \cdots \cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}I(1)=2\prod _{k=1}^n\frac{2k}{2k+1}$

을 얻는다. 한편 $\sin x\le 1$에서

${\sin }^{2n+1}x\le {\sin }^{2n}x\le {\sin }^{2n-1}x,0\le x\le \pi$

$\Rightarrow I(2n+1)\le I(2n)\le I(2n-1)$

이고, 이것을 $I(2n+1)$으로 나누면

$\Rightarrow 1\le \frac{I(2n)}{I(2n+1)}\le \frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}=\frac{2n+1}{2n}$

을 얻는다. 샌드위치 정리를 활용하면

$\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{I(2n)}{I(2n+1)}=1$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{I(2n)}{I(2n+1)}=\frac{\pi }{2}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{k=1}^n(\frac{2k-1}{2k}\cdot \frac{2k+1}{2k})=1$

$\Rightarrow \frac{\pi }{2}=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{2k}{2k-1}\cdot \frac{2k}{2k+1})=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \cdots$

을 얻는다.

같이 보기

• 비에트의 공식
• 라이프니츠의 공식