용량 차원

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서, 용량 차원(틀:Llang)은 정수 값이 아닐 수 있는 차원의 하나이다.

정의

거리 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 임의의 $ϵ>0$에 대하여, $N_{ϵ}(X)$가 $X$의 덮개를 이루는 지름이 $ϵ$인 공들의 최소 개수라고 하자. $X$의 용량 차원 ${\dim }_{\mathrm{C}}X$는 다음과 같다.

${\dim }_{\mathrm{C}}X=\underset{ϵ\to 0}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\ln N_{ϵ}(X)}{\ln \frac{1}{ϵ}}$

예

칸토어 집합

칸토어 집합 $C$는 닫힌구간 $[0,1]$에서 시작하여 각 구간에서 가운데 1/3을 제거하는 과정을 거듭하여 만들어진다. 각 과정마다 구간의 개수는 2배씩 늘어나며, 각 구간의 길이는 1/3씩 줄어들므로, ${ϵ}_n=1/3^n$을 취할 경우 $N_{{ϵ}_n}(C)=2^n$이다. 따라서 용량 차원은

${\dim }_{\mathrm{C}}C=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n\ln 2}{n\ln 3}=\frac{\ln 2}{\ln 3}\approx 0.63$

이다. 이는 $C$의 하우스도르프 차원과 같다.

외부 링크

• 틀:매스월드