연관 소 아이디얼

틀:위키데이터 속성 추적 환론에서, 가군의 연관 소 아이디얼(聯關素ideal, 틀:Llang)은 특정 부분 가군의 소멸자로 표현될 수 있는 소 아이디얼이다. 가환환 위의 가군의 연관 소 아이디얼은 대수기하학적으로 준연접층으로서의 지지 집합과 관련되며, 또 부분 가군의 으뜸 분해에 사용된다.

정의

환 $R$의 왼쪽 가군 ${}_{R}M$이 다음 조건을 만족시킨다면, $M$을 소가군(틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 부분 가군 ${}_{R}N\subseteq {}_{R}M$에 대하여, $N=0$이거나 $\mathrm{Ann}{(}_{R}N)=\mathrm{Ann}{(}_{R}M)$이다.

(여기서 $\mathrm{Ann}$은 소멸자를 뜻한다.) 소가군의 소멸자는 항상 소 아이디얼이다.틀:Rp

증명:

만약 양쪽 아이디얼 $𝔞,𝔟$가 $𝔞𝔟\subseteq {\mathrm{Ann}}_{R}M$을 만족시키며 $𝔞\subseteq ̸{\mathrm{Ann}}_{R}M$이라면, $\{0\}\ne 𝔞M$이므로 $𝔟\subseteq {\mathrm{Ann}}_R(𝔞M)={\mathrm{Ann}}_{R}M$이다.

$R$의 왼쪽 가군 ${}_{R}M$의 연관 소 아이디얼(틀:Llang)은 그 부분 가군인 소가군의 소멸자로 나타낼 수 있는 소 아이디얼이다.틀:Rp ${}_{R}M$의 연관 소 아이디얼의 집합을 $\mathrm{Ass}{(}_{R}M)\subseteq \mathrm{Spec}R$로 표기한다.

만약 $R$가 가환환일 때, $\mathrm{Ass}{(}_{R}M)$ 의 원소 가운데 (포함 관계에 대하여) 극소 원소인 것을 고립 연관 소 아이디얼(틀:Llang), 아닌 것을 매장 연관 소 아이디얼(틀:Llang)이라고 한다.

성질

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 ${}_{R}M$의 부분 가군 $N\subseteq M$에 대하여, $\mathrm{Ass}{(}_N)\subseteq \mathrm{Ass}{(}_M)$이다. 만약 $N$이 본질적 부분 가군이라면 $\mathrm{Ass}{(}_N)=\mathrm{Ass}{(}_M)$이다.

유한성·비자명성

만약 $R$가 양쪽 아이디얼에 대한 오름 사슬 조건을 만족시킨다면, $R$ 위의 모든 유한 생성 왼쪽 가군은 적어도 하나 이상의 연관 소 아이디얼을 갖는다. 임의의 환 위의 뇌터 왼쪽 가군은 유한 개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

뇌터 가환환의 경우

가환환 $R$ 위의 가군 $M$은 $\mathrm{Spec}R$ 위의 준연접층을 정의한다. 그 지지 집합

$\mathrm{supp}{(}_{R}M)=\{𝔭\in \mathrm{Spec}R:R_{𝔭}{\otimes }_R\ne 0\}$

을 생각하자. 만약 $R$가 뇌터 가환환이라면, 다음이 성립한다.

• $\mathrm{Ass}{(}_{R}M)\subseteq \mathrm{supp}{(}_{R}M)$
• $\mathrm{Ass}{(}_{R}M)$의 극소 원소들의 집합은 $\mathrm{supp}{(}_{R}M)$의 극소 원소들의 집합과 같다.

뇌터 가환환 $R$ 위의 왼쪽 가군 ${}_{R}M$의 연관 소 아이디얼들의 합집합은 $M$의 영인자들의 집합과 같다.

$\bigcap \mathrm{Ass}{(}_{R}M)=\{r\in R:\mathrm{\exists }m\in M\setminus \{0\}:rm=0\}$

뇌터 가환환 $R$ 위의 왼쪽 가군 ${}_{R}M$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• 가군의 길이가 유한하다.
• 유한 생성 가군이며, 모든 연관 소 아이디얼이 극대 아이디얼이다.

예

임의의 환 위의 영가군은 연관 소 아이디얼을 갖지 않는다.

$\mathrm{Ass}{(}_{R}0)=\varnothing$