에르미트 보간법

틀:위키데이터 속성 추적 수치해석학에서 에르미트 보간법(틀:Lang)은 프랑스의 수학자 에르미트의 이름을 딴 보간법이다. 다항함수 형태로 보간된다.

개요

뉴턴 보간법과 달리, 에르미트 보간법은 자료 점들을 값과 1차 미분값을 대응시킨다. 즉 n차 미분값들 $(x_0,{y_0}^{\prime }),\dots ,(x_{n-1},y_{n^{\prime }-1})$이 n 자료 점들 $(x_0,y_0),\dots ,(x_{n-1},y_{n-1})$에 추가로 주어져야만 한다. 뉴턴 다항식이 최대 자유도 n − 1을 가지는 반면, 이 보간법의 다항식 결과는 대부분 2n − 1의 자유도를 가지게 된다.

사용

함수 f의 에르미트 다항식을 계산하기 위해 분할차(divided difference)들을 사용할 때, 첫단계는 각 점들을 복제하는 것이다. 그러므로 우리가 보간하기 원하는 함수 f에 대해 n + 1 자료점들 $x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n$과 값들, $f(x_0),f(x_1),\dots ,f(x_n)$과 $f^{\prime }(x_0),f^{\prime }(x_1),\dots ,f^{\prime }(x_n)$이 주어지면 다음과 같은 새로운 자료집합을 만든다.

$z_0,z_1,\dots ,z_{2n+1}$

$z_{2i}=z_{2i+1}=x_i$

이제 지점들 $z_0,z_1,\dots ,z_{2n+1}$에 대한 분할차 표를 만든다. 하지만 몇몇 분할차들은 정의되지 않았다.

$z_i=z_{i+1}⟹f[z_i,z_{i+1}]=\frac{f(z_{i+1})-f(z_i)}{z_{i+1}-z_i}=\frac{0}{0}$

이 경우 분할차를 $\frac{f^{\prime }(z_i)}{1}$로 대체한다. 나머지 것들은 정상적으로 계산된다.

이제, 이 과정은 더 고차(高次) 미분값들의 에르미트 보간이 가능하도록 일반화될 수 있다. 각 점이 같은 개수의 미분값들을 가져야 한다는 요구가 없더라도, 각 점들에 대해 k차 미분값들이 주어졌다고 하자. 그러면 자료집합 $z_0,z_1,\dots ,z_{kn-1}$은 각 자료점들이 k개 복제되면서 만들어진다. 그러면 n 자료점들에 대해 각도가 대부분 $(k+1)n-1$인 다항식 하나가 생성될 것이다. 이제 동일한 값들 m개의 분할차는 $\frac{f^{(m-1)}(x_i)}{(m-1)!}$으로 대체된다.

예를 들면, $f[x_i,x_i,x_i,x_i]=\frac{f^{(3)}(x_i)}{6}$과 $f[x_i,x_i,x_i]=\frac{f^{(2)}(x_i)}{2}$ 등이다.

예시

함수 $f(x)=x^8+1$의 경우를 생각해보자. $x\in \{-1,0,1\}$에서 함수를 두번 미분하면서 다음 자료를 얻는다.

x	ƒ(x)	ƒ'(x)	ƒ''(x)
−1	2	−8	56
0	1	0	0
1	2	8	56

두 미분값들을 가지고 집합 $\{z_i\}=\{-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1\}$를 구성한다. 분할차표는 다음과 같다.

$\begin{array}{cccccccccc}{z}_0=-1& f[z_0]=2& & & & & & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_0)}{1}=-8& & & & & & & \\ z_1=-1& f[z_1]=2& & \frac{f^{″}(z_1)}{2}=28& & & & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_1)}{1}=-8& & f[z_3,z_2,z_1,z_0]=-21& & & & & \\ z_2=-1& f[z_2]=2& & f[z_3,z_2,z_1]=7& & 15& & & & \\ & & f[z_3,z_2]=-1& & f[z_4,z_3,z_2,z_1]=-6& & -10& & & \\ z_3=0& f[z_3]=1& & f[z_4,z_3,z_2]=1& & 5& & 4& & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_3)}{1}=0& & f[z_5,z_4,z_3,z_2]=-1& & -2& & -1& \\ z_4=0& f[z_4]=1& & \frac{f^{″}(z_4)}{2}=0& & 1& & 2& & 1\\ & & \frac{f^{\prime }(z_4)}{1}=0& & f[z_6,z_5,z_4,z_3]=1& & 2& & 1& \\ z_5=0& f[z_5]=1& & f[z_6,z_5,z_4]=1& & 5& & 4& & \\ & & f[z_6,z_5]=1& & f[z_7,z_6,z_5,z_4]=6& & 10& & & \\ z_6=1& f[z_6]=2& & f[z_7,z_6,z_5]=7& & 15& & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_7)}{1}=8& & f[z_8,z_7,z_6,z_5]=21& & & & & \\ z_7=1& f[z_7]=2& & \frac{f^{″}(z_7)}{2}=28& & & & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_8)}{1}=8& & & & & & & \\ z_8=1& f[z_8]=2& & & & & & & & \end{array}$

그리고 뉴턴 다항식을 생성할 때처럼, 분할차표의 대각선 계수들을 가져와서 k번째 계수에 $\prod _{i=0}^{k-1}(x-z_i)$를 곱하면 다음과 같은 다항식을 생성할 수 있다.

$\begin{array}{cc}P(x)& =2-8(x+1)+28(x+1{)}^2-21(x+1{)}^3+15x(x+1{)}^3-10x^2(x+1{)}^3\\ & +4x^3(x+1{)}^3-1x^3(x+1{)}^3(x-1)+x^3(x+1{)}^3(x-1{)}^2\\ & =2-8+28-21-8x+56x-63x+15x+28x^2-63x^2+45x^2-10x^2-21x^3\\ & +45x^3-30x^3+4x^3+x^3+x^3+15x^4-30x^4+12x^4+2x^4+x^4\\ & -10x^5+12x^5-2x^5+4x^5-2x^5-2x^5-x^6+x^6-x^7+x^7+x^8\\ & =x^8+1.\end{array}$

그래픽스 응용

마이크로소프트사의 다이렉트 X SDK에서는 D3DXVecHermite라는 함수로 에르미트 보간법을 이용할 수 있다. D3DXVecHermite 함수의 정의는 다음과 같다.

D3DXVECTOR3* WINAPI D3DXVecHermite( D3DXVECTOR3 *pOut, CONST D3DXVECTOR3 *pV1, CONST D3DXVECTOR3 *pT1,
CONST D3DXVECTOR3 *pV2, CONST D3DXVECTOR3 *pT2, FLOAT s );

위에서 각 인수의 의미는 다음과 같다.

• pV1: 시작점의 좌표(0,0,0에서 이 점까지의 벡터값)
• pT1: 시작점에서 다음 지점까지의 벡터값(= pV2 - pV1)
• pV2: 다음 지점의 좌표(0,0,0에서 이 점까지의 벡터값)
• pT2: 다음 지점에서 그 다음지점의 벡터값(= pV3 - pV2)
• s: 0.0f ~ 0.1f의 상수

아래와 같이 사용할 수 있다.

D3DXVECTOR3 pOut(0,0,0), pV1(-2.0f,-2.0f,-2.0f), pT1, pV2(1.0f,1.0f,1.0f), pT2, pV3(2.0f,1.5f,3.0f);
FLOAT s;
pT1 *= 0.0f;
pT2 *= 0.0f;
pT1 = pV2 - pV1;
pT2 = pV3 - pV2;
s = 0.5f;
D3DXVecHermite(&pOut, &pV1, &pT1, &pV2, &pT2, s);

pOut.x , pOut.y, pOut.z는 에르미트 보간법에 의하여 발생된 곡선의 0.5f 지점(중앙지점)의 3차원 좌표값을 알려준다. 이것은 모노레일, 게임, 수로건설, 철도건설, 항로계산등의 실제적인 업무에 사용되기도 한다.

이후 더 부드러운 곡선을 만들어 내는 방법인 Catmull-Rom 보간법이 개발되었기에, 현재는 에르미트 보간법을 대신하여 많이 사용되고 있다. 하지만, 이러한 방식을 처음 고안한 사람이 에르미트이기에, 실제로는 Catmull-Rom 보간법을 사용하면서도 에르미트 보간법이라고 통칭하는 경우도 많다.

같이 보기

• 입방 에르미트 스플라인
• 차분
• 다항식 보간
• 라그랑주 다항식
• 베른슈타인 다항식
• 중국인의 나머지 정리