약수 함수

틀:위키데이터 속성 추적 정수론에서 약수 함수(約數函數, 틀:Llang)는 주어진 수의 양의 약수들의 거듭제곱의 합으로 정의되는 수론적 함수다.

정의

자연수 $n$ 과 복소수 $a$ 에 대하여, 약수 함수 $σ_{a} (n)$ 는 다음과 같다.

σ_{a} (n) = \sum_{d ∣ n} d^{a}

여기서 $\sum_{d ∣ n}$ 은 $n$ 의 양의 약수들에 대한 합이다. 이 경우 1과 $n$ 자신을 포함시키지만, 양수가 아닌 약수는 포함시키지 않는다.

$σ_{0} (n)$ 은 $d (n)$ 로도 나타내며, $n$ 의 약수의 개수에 해당한다.

σ_{0} (n) = # {d \in ℤ^{+} : d ∣ m}

$σ_{1} (n)$ 은 시그마 함수 $σ (n)$ 라고 하며 $n$ 의 모든 양의 약수의 합을 나타낸다.

σ (n) = σ_{1} (n) = \sum_{d ∣ n} d

$s (n)$ = $σ (n)$ - $n$ 으로 표시하며, 이 값은 $n$ 에서 자기 자신을 제외한 양의 약수의 합에 해당한다. $s (n)$ = $n$ 이 되는 수를 완전수라 한다.

p가 소수일 때에만

σ_{1} (p) = p + 1

이 성립한다. 정의에 의해 소수의 양의 약수는 1과 소수 자신 뿐이기 때문이다.

약수 함수는 곱셈적이다. 그러나 완전 곱셈적은 아니다.

만약 $n = \prod_{i = 1}^{r} p_{i}^{α_{i}}$ 로 소인수 분해된다면,

d (n) = \prod_{i = 1}^{r} (α_{i} + 1)

,

σ (n) = \prod_{i = 1}^{r} \frac{p_{i}^{α_{i} + 1} - 1}{p_{i} - 1}

이 된다. 일반적으로 a>0인 경우,

σ_{a} (n) = \prod_{i = 1}^{r} \frac{p_{i}^{(α_{i} + 1) a} - 1}{p_{i}^{a} - 1}

이 성립한다.

그리고 오일러-마스케로니 상수 값을 γ로 적을 때,

\underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{σ (n)}{n \ln \ln n} = e^{γ}

가 된다.