야코비-앙거 전개

틀:위키데이터 속성 추적 야코비-앙거 전개(Jacobi–Anger expansion) 또는 야코비-앙거 등식(Jacobi–Anger identity)은 삼각 함수의 지수 꼴을 조화 함수로 풀어 쓰는 것을 말한다. 물리에서 평면파와 원통형 파 사이의 전환 시에, 또는 신호 처리에서 주파수 변조(FM) 신호를 서술할 때 쓰인다. 19세기의 수학자 카를 구스타프 야코프 야코비와 카를 테오도어 앙거의 이름을 딴 것이다.

가장 일반적인 꼴은^[1]^[2]

e^{i z \cos θ} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} i^{n} J_{n} (z) e^{i n θ}

및

e^{i z \sin θ} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} J_{n} (z) e^{i n θ}

이고, 여기서 $J_{n} (z)$ 는 n차 베셀 함수이다. 정수 n에 대해 $J_{- n} (z) = (- 1)^{n} J_{n} (z)$ 인 관계를 쓰면 위의 식은^[1]^[2]

e^{i z \cos θ} = J_{0} (z) + 2 \sum_{n = 1}^{\infty} i^{n} J_{n} (z) \cos (n θ)

로 다시 쓸 수 있다.

다음과 같은 실수 함수 꼴도 자주 쓰인다.^[3]

\begin{matrix} \cos (z \cos θ) & = J_{0} (z) + 2 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} J_{2 n} (z) \cos (2 n θ), \\ \sin (z \cos θ) & = - 2 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} J_{2 n - 1} (z) \cos [(2 n - 1) θ], \\ \cos (z \sin θ) & = J_{0} (z) + 2 \sum_{n = 1}^{\infty} J_{2 n} (z) \cos (2 n θ), \\ \sin (z \sin θ) & = 2 \sum_{n = 1}^{\infty} J_{2 n - 1} (z) \sin [(2 n - 1) θ] . \end{matrix}

각주

↑ ^1.0 ^1.1 David Colton, Rainer Kress, Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory (1998), page 32, Applied Mathematical Sciences (Book 93), 2nd. Ed. 틀:ISBN
↑ ^2.0 ^2.1 A. Cuyt, V. Petersen, B. Verdonk, H. Waadeland, W. B. Jones, Handbook of continued fractions for special functions, page 344, Springer (2008), 틀:ISBN
↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Chapter 9, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, 틀:ISBN, MR 0167642 p. 361, 9.1.42–45.