아폴로니오스 정리

틀:위키데이터 속성 추적 아폴로니오스 정리(Apollonius' theorem) 또는 중선정리(中線定理)는 중 기하학에서 삼각형의 각 변들간의 관계를 설명한 정리이다. '아폴로니오스'라는 이름은 고대 그리스의 수학자인 페르게의 아폴로니오스의 이름을 딴 것이다. 대한민국과 일본에서는 흔히 파푸스의 정리(Pappus's theorem)라는 이름으로도 알려져 있으나, 이외의 국가에서는 이러한 이름으로 불리지 않는다.

내용

그림에서 $B I = I C$ 일 때, 선분 $A I$ 는 중선(Median)이 되고, 다음의 관계가 성립한다.

A B^{2} + A C^{2} = 2 (B I^{2} + A I^{2}) = 2 (C I^{2} + A I^{2})

특히, $A B = A C$ 가 성립할 경우, 피타고라스의 정리가 된다. 즉,

A I^{2} + B I^{2} = A B^{2} (= A C^{2})

이 정리는 스튜어트 정리에서 $B I = I C$ 를 가정할 때와 동일하므로 스튜어트 정리의 특수한 형태가 된다.

증명

코사인 법칙을 이용한 증명

세 변이 각각 $a, b, c$ 인 삼각형에서 변 $a$ 를 지나도록 중선 $d$ 를 긋는다. 또한, 변 $a$ 를 이등분한 후, $a$ 의 절반을 $m$ 이라 한다. 또 변 $a$ 와 중선 $d$ 가 이루는 두 각을 각각 $θ$ 와 $θ^{'}$ 이라고 한다. 이때, $θ$ 는 변 $b$ 와 마주보고 $θ^{'}$ 은 변 $c$ 와 마주본다. 그러면 $θ$ 와 $θ^{'}$ 은 서로 보각이 되므로 $\cos θ^{'} = - \cos θ$ 가 된다. 이때 코사인 법칙에 의해 아래 식이 성립한다. $\begin{matrix} b^{2} & = m^{2} + d^{2} - 2 d m \cos θ \\ c^{2} & = m^{2} + d^{2} - 2 d m \cos θ^{'} \\ = m^{2} + d^{2} + 2 d m \cos θ \end{matrix}$

첫째 줄의 식과 셋째 줄의 식을 더하면, 아래와 같은 결론을 얻을 수 있다. $b^{2} + c^{2} = 2 (m^{2} + d^{2})$

피타고라스 정리를 이용한 증명

$△ A B C$ 에서 $\overline{B C}$ 의 중점을 $M$ 이라 하고, 점 $A$ 에서 $\overline{B C}$ 에 내린 수선의 발을 점 $H$ 라 한다. 이때, $\overline{B M} = \overline{C M}$ 이다. 피타고라스 정리를 활용하면 아래와 같이 증명할 수 있다.

$\begin{matrix} \overset{2}{\overline{A B}} & = & {(\overline{B M} + \overline{M H})}^{2} + \overset{2}{\overline{A H}} \\ = & \overset{2}{\overline{B M}} + 2 \overline{B M} \times \overline{M H} + \overset{2}{\overline{M H}} + \overset{2}{\overline{A H}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \overset{2}{\overline{A C}} & = & {(\overline{C M} - \overline{M H})}^{2} + \overset{2}{\overline{A H}} \\ = & {(\overline{B M} - \overline{M H})}^{2} + \overset{2}{\overline{A H}} \\ = & \overset{2}{\overline{B M}} - 2 \overline{B M} \times \overline{M H} + \overset{2}{\overline{M H}} + \overset{2}{\overline{A H}} \end{matrix}$

$\begin{matrix} ∴ \overset{2}{\overline{A B}} + \overset{2}{\overline{A C}} & = & 2 (\overset{2}{\overline{B M}} + \overset{2}{\overline{M H}} + \overset{2}{\overline{A H}}) \\ = & 2 (\overset{2}{\overline{A M}} + \overset{2}{\overline{B M}}) \end{matrix}$

좌표를 이용한 증명

좌표를 사용하여 증명할 수도 있다.

그림과 같이 $\overline{B C}$ 가 $x$ 축과 겹쳐지도록 한다. $△ A B C$ 에서 $\overline{B C}$ 의 중점을 $M$ 이라 하고, 점 $M$ 이 원점에 오도록 한다. 각 점의 좌표는 각각 $A (a, b)$ , $B (- c, 0)$ , $C (c, 0)$ , $M (0, 0)$ 이 된다.

$\overset{2}{\overline{A B}} = (a + c)^{2} + b^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a c$

$\overset{2}{\overline{A C}} = (a - c)^{2} + b^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a c$

$\overset{2}{\overline{A M}} = a^{2} + b^{2}$

$\overset{2}{\overline{B M}} = c^{2}$

$\overset{2}{\overline{A B}} + \overset{2}{\overline{A C}} = 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ , $\overset{2}{\overline{A M}} + \overset{2}{\overline{B M}} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

$∴ \overset{2}{\overline{A B}} + \overset{2}{\overline{A C}} = 2 (\overset{2}{\overline{A M}} + \overset{2}{\overline{B M}})$

같이 보기

스튜어트 정리

외부 링크

planetmath.org의 Apollonius theorem항목

아폴로니오스 정리

목차

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